插值个税计算器在线计算

数值计算方法插值法张晓平2019年11月4日武汉大学数学与统计学院Tableofcontents1.
简介2.
拉格朗日插值3.
分段低次插值4.
差商与牛顿插值多项式5.
差分与等距节点插值1简介简介在离散数据的基础上补插连续函数,使得这条连续曲线通过全部给定的离散数据点.
插值是离散函数逼近的重要方法,利用它可通过函数在有限个点处的取值状况,估算出函数在其他点处的近似值.
插值:用来填充图像变换时像素之间的空隙.
2简介早在6世纪,中国的刘焯已将等距二次插值用于天文计算.
17世纪之后,I.
牛顿,J.
-L.
拉格朗日分别讨论了等距和非等距的一般插值公式.
在近代,插值法仍然是数据处理和编制函数表的常用工具,又是数值积分、数值微分、非线性方程求根和微分方程数值解法的重要基础,许多求解计算公式都是以插值为基础导出的.
3简介定义:插值问题通过y=f(x)在[a,b]中互异的n+1个点x0,x1,···,xn处的值y0,y1,···,yn,构造一个简单函数P(x)作为y=f(x)的近似表达式y=f(x)≈P(x)简介定义:插值问题通过y=f(x)在[a,b]中互异的n+1个点x0,x1,···,xn处的值y0,y1,···,yn,构造一个简单函数P(x)作为y=f(x)的近似表达式y=f(x)≈P(x)→插值函数简介定义:插值问题通过y=f(x)在[a,b]中互异的n+1个点x0,x1,···,xn处的值y0,y1,···,yn,构造一个简单函数P(x)作为y=f(x)的近似表达式y=f(x)≈P(x)→插值函数使得P(xi)=f(xi)=yi(i=0,1,···,n)4简介1代数插值插值函数为代数多项式2三角插值插值函数为三角多项式5简介插值几乎应用于所有需要进行图像缩放功能的领域内,如数码相机、图像处理软件(如Photoshop).
图像插值就是利用已知邻近像素点的灰度值来产生未知像素点的灰度值,以便由原始图像再生出具有更高分辨率的图像.
6拉格朗日插值拉格朗日插值约瑟夫·拉格朗日(Joseph-LouisLagrange1736-1813),法国著名数学家、物理学家.
1736年1月25日生于意大利都灵,1813年4月10日卒于巴黎.
他在数学、力学和天文学三个学科领域中都有历史性的贡献,其中尤以数学方面的成就最为突出,拿破仑曾称赞他是"一座高耸在数学界的金字塔".
7拉格朗日插值代数插值问题代数插值问题定义:代数插值问题设y=f(x)在[a,b]上n+1个不同点a=x0j≥0(xixj)插值多项式的存在性与惟一性证明设Pn(x)=a0+a1x+a2x2+···+anxn,根据插值条件,系数a0,a1,···,an应满足a0+a1x0+a2x20+···+anxn0=y0a0+a1x1+a2x21+···+anxn1=y1.
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a0+a1xn+a2x2n+···+anxnn=yn(2)其中系数行列式为范德蒙行列式V=1x0x20···xn01x1x21···xn1.
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1xnx2n···xnn=∏n≥i>j≥0(xixj)由于节点互异,即xi=xj(i=j),故V=0.
由克莱姆法则知(2)存在惟一解,亦即插值多项式存在惟一.
12拉格朗日插值线性插值线性插值定义:线性插值设y=f(x)在[x0,x1]两端点的值为y0=f(x0),y1=f(x1),要求用线性函数y=L1(x)=ax+b近似代替f(x),使得L1(x0)=f(x0),L1(x1)=f(x1)称L1(x)为f(x)的线性插值函数.
13线性插值xyABy=f(x)图2:线性插值线性插值的几何意义:通过两点A(x0,y0)和B(x1,y1)的直线近似代替曲线y=f(x)线性插值xyABy=f(x)x0x1图2:线性插值线性插值的几何意义:通过两点A(x0,y0)和B(x1,y1)的直线近似代替曲线y=f(x)14线性插值由直线方程的两点式可求得L1(x)的表达式为L1(x)=xx1x0x1y0+xx0x1x0y115线性插值设l0(x)=xx1x0x1,l1(x)=xx0x1x0则它们均为x的一次函数,且具有如下性质lk(xi)=1,i=k0,i=k.
具有这种性质的函数l0(x),l1(x)称为线性插值基函数,则L1(x)=y0l0(x)+y1l1(x)16线性插值定理条件:1f′(x)在[x0,x1]上连续2f′′(x)在(x0,x1)内存在3L1是满足线性插值条件的插值多项式结论x∈[x0,x1],则R1(x)=f(x)L1(x)=f′′(ξ)2!
(xx0)(xx1)其中ξ∈(x0,x1),且依赖于x17线性插值证明1x=x0或x=x1:结论显然成立2x=x0且x=x1:构造辅助函数φ(t)=f(t)L1(t)f(x)L1(x)(xx0)(xx1)(tx0)(tx1)易证φ(x)=φ(x0)=φ(x1)=0,即φ(t)在[x0,x1]上有三个零点.
由罗尔定理,φ′(t)在(x0,x1)内至少有两个零点.
对φ′(t)再应用罗尔定理,则φ′′(t)在(x0,x1)内至少有一个零点ξ,使得φ′′(ξ)=f′′(ξ)2!
f(x)L1(x)(xx0)(xx1)=0R1(x)=f(x)L1(x)=f′′(ξ)2!
(xx0)(xx1),ξ0∈(x0,x1)18线性插值1若f(x)的表达式未知,或f′′(x)在(x0,x1)内不存在,就不能用该余项表达式去估计截断误差2即使f′′(x)存在,由于ξ的确切位置未知,此时若能求出maxa≤x≤b|f′′(x)|=M1,则截断误差为|R1|≤M12!
|(xx0)(xx1)|.
19拉格朗日插值抛物线插值抛物线插值对于f(x),设f(x0)=y0,f(x1)=y1,f(x2)=y2,要求作一个二次插值多项式,使其满足插值条件L2(xi)=yi(i=0,1,2).
由于过不同在一条直线的三点可作一条抛物线,故称二次插值多项式L2(x)为f(x)的抛物线插值函数.
20抛物线插值Oxyy=L1(x)ABCy=f(x)图3:抛物线插值抛物线插值Oxyy=L1(x)ABCy=f(x)x0x1x2图3:抛物线插值21抛物线插值设二次插值多项式为L2(x)=y0l0(x)+y1l1(x)+y2l2(x),x0≤x≤x2,其中lk(x)(k=0,1,2)均为二次多项式,且满足lk(xi)=δk,i={1,i=k0,i=k(i,k=0,1,2)22抛物线插值求l0(x)由l0(x1)=l0(x2)=0知x1,x2为l0(x)的两个零点,故可设l0(x)=k(xx1)(xx2)再由l0(x0)=1知k(x0x1)(x0x2)=1k=1(x0x1)(x0x2)故l0(x)=(xx0)(xx1)(x0x1)(x0x2)23抛物线插值求l1(x)由l1(x0)=l1(x2)=0知x0,x2为l1(x)的两个零点,故可设l1(x)=k(xx0)(xx2)再由l1(x1)=1知k(x1x0)(x1x2)=1k=1(x1x0)(x1x2)故l1(x)=(xx0)(xx2)(x1x0)(x1x2)24抛物线插值求l2(x)由l2(x0)=l2(x1)=0知x0,x1为l2(x)的两个零点,故可设l2(x)=k(xx0)(xx1)再由l2(x2)=1知k(x2x0)(x2x1)=1k=1(x2x0)(x2x1)故l2(x)=(xx0)(xx1)(x2x0)(x2x1)25抛物线插值f(x)的二次Lagrange插值多项式L2(x)=y0(xx0)(xx1)(x0x1)(x0x2)+y1(xx0)(xx2)(x1x0)(x1x2)+y2(xx0)(xx1)(x2x0)(x2x1)26抛物线插值定理条件:1f′′(x)在[x0,x2]上连续2f′′′(x)在(x0,x2)内存在3L2是满足线性插值条件的插值多项式结论R2(x)=f(x)L2(x)=f′′′(ξ)3!
(xx0)(xx1)(xx2),x∈[x0,x2]其中ξ∈(x0,x2),且依赖于x27抛物线插值定理条件:1f′′(x)在[x0,x2]上连续2f′′′(x)在(x0,x2)内存在3L2是满足线性插值条件的插值多项式结论R2(x)=f(x)L2(x)=f′′′(ξ)3!
(xx0)(xx1)(xx2),x∈[x0,x2]其中ξ∈(x0,x2),且依赖于x若maxa≤x≤b|f′′′(x)|=M2,则截断误差限为|R2(x)|≤M23!
|(xx0)(xx1)(xx2)|27拉格朗日插值拉格朗日插值多项式拉格朗日插值多项式设y=f(x)在n+1个节点x0现要作一个n次插值多项式Ln(x),使其满足插值条件Ln(xi)=yi(i=0,1,2,···,n).
28拉格朗日插值多项式设n次插值多项式为Ln(x)=y0l0(x)+y1l1(x)+···+ynln(x),x0≤x≤xn,其中lk(x)(k=0,1,,···,n)均为n次多项式,且满足lk(xi)=δk,i={1,i=k0,i=k(i,k=0,1,···,n)29拉格朗日插值多项式求li(x)由li(x0)li(xi1)=li(xi+1)li(xn)=0知x0,···,xi1,xi+1,···,xn为li(x)的n个零点,故可设li(x)=k(xx0)···(xxi1)·(xxi1)···(xxn)再由li(xi)=1知k(xix0)···(xixi1)·(xixi1)···(xixn)=1k=1(xix0)···(xixi1)·(xixi1)···(xixn)故li(x)=(xx0)···(xxi1)·(xxi1)···(xxn)(xix0)···(xixi1)·(xixi1)···(xixn)30拉格朗日插值多项式f(x)的n次Lagrange插值多项式Ln(x)=n∑k=0yklk(x)其中lk(x)=n∏i=0i=k(xxi)(xkxi)31拉格朗日插值多项式记ωn+1(x)=(xx0)(xx1)···(xxn),则ω′n+1(xk)=(xkx0)···(xkxk1)(xkxk+1)···(xkxn)于是Ln(x)=n∑k=0ykωn+1(x)(xxk)ω′n+1(x)32拉格朗日插值多项式n次插值多项式Ln(x)通常是次数为n的多项式,特殊情况下次数可能小于n.
33拉格朗日插值多项式n次插值多项式Ln(x)通常是次数为n的多项式,特殊情况下次数可能小于n.
如,通过三点(x0,y0),(x1,y1),(x2,y2)的二次插值多项式L2(x),若三点共线,则y=L2(x)就是一条直线,而非抛物线.
33拉格朗日插值多项式定理条件:1f(n)(x)在[x0,xn]上连续2f(n+1)(x)在(x0,xn)内存在3Ln是满足线性插值条件的插值多项式结论Rn(x)=f(x)Ln(x)=f(n+1)(ξ)(n+1)!
ωn+1(x),其中ξ∈(x0,xn),且依赖于x34拉格朗日插值多项式定理通过n+1个互异节点x0,x1,···,xn且满足插值条件的插值多项式是唯一的.
35拉格朗日插值多项式定理通过n+1个互异节点x0,x1,···,xn且满足插值条件的插值多项式是唯一的.
证明若还有一个插值多项式Pn(x),则Ln(x)Pn(x)是一个次数不超过n的多项式,且在节点xi处的值为0,即Ln(x)Pn(x)有n+1个零点.
但次数不超过n的多项式的零点个数不能超过n,故只有Ln(x)Pn(x)≡0,即Ln(x)≡Pn(x).
35拉格朗日插值多项式关于编程,通常采用紧凑表达式Ln(x)=n∑k=0n∏i=0i=k(xxi)(xkxi)yk涉及二重循环,先固定k,令i从0到n(i=k)做乘积,再对k求和.
36拉格朗日插值多项式例已知ex在x=1,2,3点的值由下表给出.
试分别用线性插值与二次插值计算e2.
1的近似值,并进行误差估计.
x123ex0.
3678794410.
1353352830.
04978706837拉格朗日插值多项式解线性插值:取x0=2,x1=3,x=2.
1,代入一次插值公式L1(2.
1)=0.
135335283*2.
1323+0.
049787068*2.
1232=0.
12678046二次插值:取x0=1,x1=2,x2=3,x=2.
1,代入二次插值公式L2(2.
1)=0.
367879441*(2.
12)(2.
13)(12)(13)+0.
135335283*(2.
11)(2.
13)(21)(23)+0.
049787068*(2.
11)(2.
12)(31)(32)=0.
12016564438拉格朗日插值多项式解(续):注意到ex的递减性,有|R1(2.
1)|≤e22!
|(2.
12)(2.
13)|≈0.
00609009|R2(2.
1)|≤e13!
|(2.
11)(2.
12)(2.
13)|≈0.
00607009139分段低次插值分段低次插值对于函数f(x),并非插值多项式的次数越高,精度就越好.
这是因为高次插值多项式往往有数值不稳定的缺点,即对任意的插值节点,Pn(x)f(x),n→∞40分段低次插值给定f(x)=11+x2,在[5,5]上的各阶导数均存在,在n+1个均匀节点xi=5+i10n(i=0,1,···,n)上所构造的拉格朗日插值多项式Ln(x)=n∑k=011+xk2ωn+1(x)(xxk)ω′n+1(xk)41分段低次插值xy-55Oy=11+x2y=L10(x)图4:龙格现象42分段低次插值为了避免高次插值的不稳定性,常采用分段插值的方法,即将插值区间分为若干个小区间,在每个小区间上运用前面介绍的插值方法构造低次插值多项式,以达到适当缩小插值区间长度,同样可以提高插值精度的目的.
43分段低次插值xy-55Oy=11+x2y=L10(x)图5:将f=11+x2在节点x=0,±1,±2,±3,±4,±5处用折线连起来44分段低次插值分段低次插值的优点:公式简单,计算量小有较好的收敛速度可避免计算机上做高次乘幂时常遇到的上溢和下溢的困难45分段低次插值分段低次插值分段低次插值设a=x0连接相邻两点(xi,yi)和(xi+1,yi+1),得一折线函数φ(x),满足1φ(x)在[a,b]上连续2φ(xi)=yi(i=0,1,···,n)3φ(x)在每个小区间[xi,xi+1]上是线性函数则称φ(x)为分段线性插值函数.
46分段低次插值φ(x)在每个小区间[xi,xi+1]上可表示为φ(x)=xxi+1xixi+1yi+xxixi+1xiyi+1,x∈[xi,xi+1],(i=0,1,2,···,n1).
47分段低次插值φ(x)的基函数表示φ(x)=n∑i=0yili(x),a≤x≤b,其中li(x)是分段的线性连续函数,且满足li(xk)={1,i=k0,i=k48分段低次插值φ(x)的基函数表示φ(x)=n∑i=0yili(x),a≤x≤b,其中li(x)是分段的线性连续函数,且满足li(xk)={1,i=k0,i=kli(x)=xxi1xixi1,xi1≤x≤xi(i=0略去)xxi+1xixi+1,xi≤x≤xi+1(i=n略去)0,其他48分段低次插值x0xnl0(x)li(x)xiln(x)图6:分段线性插值基函数49分段低次插值分段抛物线插值!
50分段抛物线插值分段抛物线插值是把区间[a,b]分成若干个子区间,在每个子区间[xi1,xi+1](i=1,2,···,n1)上用抛物线去近似曲线y=f(x).
50分段抛物线插值φ(x)在每个小区间[xi1,xi+1]上可表示为φ(x)=(xxi)(xxi+1)(xi1xi)(xi1xi+1)yi1+(xxi1)(xxi+1)(xixi1)(xixi+1)yi+(xxi1)(xxi)(xi+1xi1)(xi+1xi)yi+1,x∈[xi1,xi+1],(i=1,2,···,n1).
51分段抛物线插值称φ(x)为f(x)在区间[a,b]上的分段二次插值函数,有如下性质1φ(x)在[a,b]上连续2φ(xi)=yi(i=0,1,···,n)3φ(x)在每个小区间[xi,xi+1]上是次数不超过二次的多项式52差商与牛顿插值多项式差商与牛顿插值多项式拉格朗日插值的优缺点优点含义直观,形式对称,结构紧凑,便于记忆和编程缺点当精度不高而需要增加插值节点时,插值多项式须重新构造53差商与牛顿插值多项式为了克服这一缺点,将介绍牛顿插值多项式:其使用比较灵活,当增加插值节点时,只要在原来的基础上增加部分计算而使原来的结果仍可利用.
54差商与牛顿插值多项式差商的定义及性质差商的定义及性质定义已知f(x)在互异节点x02称f[xi,xi+1,xi+2]=f[xi+1,xi+2]f[xi,xi+1]xi+2xi为f(x)关于节点xi,xi+1,xi+2的二阶差商.
3称f[xi,xi+1,···,xi+k]=f[xi+1,xi+2,···,xi+k]f[xi,xi+1,···,xi+k1]xi+kxi为f(x)关于节点xi,xi+1,xi+2,···,xi+k的k阶差商.
4当k=0时,f(xi)为f(x)关于节点xi的零阶差商,记为f[xi].
55差商的定义及性质f′(xi)=limxi+1→xif(xi+1)f(xi)xi+1xi=limxi+1→xif[xi,xi+1]故差商是微商的离散形式.
56差商的定义及性质f′(xi)=limxi+1→xif(xi+1)f(xi)xi+1xi=limxi+1→xif[xi,xi+1]故差商是微商的离散形式.
以下介绍差商的性质.
56差商的定义及性质性质:1f[x0,x1,···,xk]=k∑j=0f(xj)ω′k+1(xj)57差商的定义及性质性质:2商与其所含节点的排列次序无关,即f[xi,xi+1]=f[xi+1,xi]f[xi,xi+1,xi+2]=f[xi+1,xi,xi+2]=f[xi+2,xi+1,xi]58差商的定义及性质性质:3f(x)在包含互异节点x0,x1,···,xn的闭区间[a,b]上有n阶导数,则f[x0,x1,···,xn]=f(n)(ξ)n!
,ξ∈(a,b).
59差商的定义及性质表1:差商表xif(xi)一阶差商二阶差商三阶差商四阶差商x0f(x0)x1f(x1)f[x0,x1]x2f(x2)f[x1,x2]f[x0,x1,x2]x3f(x3)f[x2,x3]f[x1,x2,x3]f[x0,x1,x2,x3]x4f(x4)f[x3,x4]f[x2,x3,x4]f[x1,x2,x3,x4]f[x0,x1,x2,x3,x4].
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60差商与牛顿插值多项式牛顿插值多项式及其余项牛顿插值多项式及其余项f(x)=f(x0)+f[x,x0](xx0)f[x,x0]=f[x0,x1]+f[x,x0,x1](xx1)f(x)=f(x0)+f[x0,x1](xx0)N1(x)+f[x,x0,x1](xx0)(xx1)R1(x)易验证N1(x)为满足插值条件N1(x0)=y0,N1(x1)=y1的一次插值多项式.
61牛顿插值多项式及其余项f(x)=f(x0)+f[x0,x1](xx0)+f[x,x0,x1](xx0)(xx1)f[x,x0,x1]=f[x0,x1,x2]+f[x,x0,x1,x2](xx2)f(x)=f(x0)+f[x0,x1](xx0)+f[x0,x1,x2](xx0)(xx1)N2(x)+f[x,x0,x1,x2](xx0)(xx1)(xx2)R2(x)可验证N2(x)为满足插值条件N2(x0)=y0,N2(x1)=y1,N2(x2)=y2的二次插值多项式.
62牛顿插值多项式及其余项类似地,可得f(x)=Nn(x)+Rn(x)其中Nn(x)=f(x0)+f[x0,x1](xx0)+f[x0,x1,x2](xx0)(xx1)+···+f[x0,x1,···,xn](xx0)(xx1)···(xxn1)Rn(x)=f[x,x0,x1,···,xn](xx0)(xx1)···(xxn).
63牛顿插值多项式及其余项类似地,可得f(x)=Nn(x)+Rn(x)其中Nn(x)=f(x0)+f[x0,x1](xx0)+f[x0,x1,x2](xx0)(xx1)+···+f[x0,x1,···,xn](xx0)(xx1)···(xxn1)Rn(x)=f[x,x0,x1,···,xn](xx0)(xx1)···(xxn).
由Rn(xi)=0可知,Nn(x)为满足插值条件Nn(xi)=yi的n次插值多项式.
称Nn(x)为n次牛顿插值多项式,Rn(x)为牛顿型插值余项.
63牛顿插值多项式及其余项由于满足插值条件的插值多项式存在且惟一,故Nn(x)≡Ln(x)进而当f(x)在(a,b)上有n+1阶导数时,有Rn(x)≡Rn(x)即f[x,x0,x1,···,xn]ωn+1(x)=f(n+1)(ξ)(n+1)!
ωn+1(x),ξ∈(a,b).
亦即证明了差商的性质3f[x,x0,x1,···,xn]=f(n+1)(ξ)(n+1)!
,ξ∈(a,b).
64牛顿插值多项式及其余项Nk+1(x)与Nk(x)之间的关系为Nk+1(x)=Nk(x)+f[x0,x1,···,xk+1](xx0)(xx1)···(xxk)由此可知,增加一个新节点xk+1,只要在Nk(x)的基础上,增加计算f[x0,x1,···,xk+1](xx0)(xx1)···(xxk).
65牛顿插值多项式及其余项例已知一组观察数据为i0123xi1234yi0-5-63试用此组数据构造3次牛顿插值多项式N3(x),并计算N3(1.
5)的值66牛顿插值多项式及其余项解差商表为xiyi一阶差商二阶差商三阶差商102-5-53-6-1243951故N3(x)=05(x1)+2(x1)(x2)+(x1)(x2)(x3)=x34x2+3N3(1.
5)=2.
6567差分与等距节点插值差分与等距节点插值上节讨论了任意节点的插值公式,但实际应用中,常采用等距节点.
此时,插值公式可进一步简化,差商可用差分代替.
68差分与等距节点插值差分的定义及性质差分的定义及性质定义设y=f(x)在等距节点xi=x0+ih(i=0,1,2,···,n)上的值yi=f(xi)已知,h=xixi1为常数,称为步长,记yi=yi+1yi,yi=yiyi1,分别称为y=f(x)在xi处以h为步长的向前差分和向后差分.
69差分的定义及性质类似地,可定义二阶差分:2yi=(yi)=(yi+1yi)=yi+1yi=yi+22yi+1+yi2yi=(yi)=(yi+1yi)=yi+1yi=yi2yi1+yi2一般地,n阶差分可定义为n1阶差分的差分nyi=n1yi+1n1yinyi=n1yin1yi170差分的定义及性质性质:差分与函数值之间的关系nyi=yn+iC1nyn+i1+C2nyi+i2+···+(1)kCknyn+ik+···+(1)nyn71差分的定义及性质性质:差分与函数值之间的关系nyi=yn+iC1nyn+i1+C2nyi+i2+···+(1)kCknyn+ik+···+(1)nynyi=yi+1yi2yi=yi+22yi+1+yi3yi=yi+33yi+2+3yi+1yi4yi=yi+44yi+3+6yi+24yi+1+yi71差分的定义及性质性质:差分与差商之间的关系f[x0,x1,···,xk]=ky0k!
hk,k=1,2,···,nf[xn,xn1,···,xnk]=kynk!
hk,k=1,2,···,n72差分的定义及性质性质:差分与导数之间的关系ny0=hnf(n)(ξ),ξ∈(x0,xn)73差分的定义及性质表2:差分表xiyiyi2yi3yi4yix0y0y0x1y12y0y13y0x2y22y14y0y23y1x3y32y2y3x4y474