概率名侦探柯南怪盗基德出场集数

1概率论与数理统计习题及答案习题一1.
写出下列随机试验的样本空间及下列事件包含的样本点.
(1)掷一颗骰子,出现奇数点.
(2)掷二颗骰子,A="出现点数之和为奇数,且恰好其中有一个1点.
"B="出现点数之和为偶数,但没有一颗骰子出现1点.
"(3)将一枚硬币抛两次,A="第一次出现正面.
"B="至少有一次出现正面.
"C="两次出现同一面.
"【解】2.
设A,B,C为三个事件,试用A,B,C(1)A发生,B,C都不发生;(2)A与B发生,C(3)A,B,C都发生;(4)A,B,C(5)A,B,C都不发生;(6)A,B,C(7)A,B,C至多有2个发生;(8)A,B,C至少有2个发生.
【解】(1)A(2)AB(3)ABC(4)A∪B∪C=C∪B∪A∪BC∪AC∪AB∪ABC=2(5)=(6)(7)BC∪AC∪AB∪C∪A∪B(8)AB∪BC∪CA=AB∪AC∪BC∪ABC3.
指出下列等式命题是否成立,并说明理由:(1)A∪B=(AB)∪B;(2)B=A∪B;(3)∩C=C;(4)(AB)()=;(5)若AB,则A=AB;(6)若AB=,且CA,则BC=;(7)若AB,则;(8)若BA,则A∪B=A.
【解】(1)不成立.
特例:若Α∩B=φ,则ΑB∪B=B.
所以,事件Α发生,事件B必不发生,即Α∪B发生,ΑB∪B不发生.
故不成立.
(2)不成立.
若事件Α发生,则不发生,Α∪B发生,所以B不发生,从而不成立.
(3)不成立.
,画文氏图如下:所以,若Α-B发生,则发生,不发生,故不成立.
(4)成立.
因为ΑB与为互斥事件.
(5)成立.
若事件Α发生,则事件B发生,所以ΑB发生.
若事件ΑB发生,则事件Α发生,事件B发生.
故成立.
(6)成立.
若事件C发生,则事件Α发生,所以事件B不发生,故BC=φ.
(7)不成立.
画文氏图,可知.
3(8)成立.
若事件Α发生,由,则事件Α∪B发生.
若事件Α∪B发生,则事件Α,事件B发生.
若事件Α发生,则成立.
若事件B发生,由,则事件Α发生.
4.
设A,B为随机事件,且P(A)=0.
7,P(AB)=0.
3,求P().
【解】P()=1P(AB)=1[P(A)P(AB)]=1[0.
70.
3]=0.
65.
设A,B是两事件,且P(A)=0.
6,P(B)=0.
7,(1)在什么条件下P(AB(2)在什么条件下P(AB【解】(1)当AB=A时,P(AB)取到最大值为0.
6.
(2)当A∪B=Ω时,P(AB)取到最小值为0.
3.
6.
设A,B,C为三事件,且P(A)=P(B)=1/4,P(C)=1/3且P(AB)=P(BC)=0,P(AC)=1/12,求A,B,C至少有一事件发生的概率.
【解】P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)P(AB)P(BC)P(AC)+P(ABC)=++=7.
52张扑克牌中任意取出13张,问有5张黑桃,3张红心,3张方块,2张梅花的概率是多少【解】p=8.
(1)求五个人的生日都在星期日的概率;(2)求五个人的生日都不在星期日的概率;(3)求五个人的生日不都在星期日的概率.
【解】(1)设A1={五个人的生日都在星期日},基本事件总数为75,有利事件仅1个,故P(A1)==()5(亦可用独立性求解,下同)(2)设A2={五个人生日都不在星期日},有利事件数为65,故P(A2)==()5(3)设A3={五个人的生日不都在星期日}P(A3)=1P(A1)=1()59.
从一批由45件正品,5件次品组成的产品中任取3件,求其中恰有一件次品的概率.
4【解】与次序无关,是组合问题.
从50个产品中取3个,有种取法.
因只有一件次品,所以从45个正品中取2个,共种取法;从5个次品中取1个,共种取法,由乘法原理,恰有一件次品的取法为种,所以所求概率为.
10.
一批产品共N件,其中M件正品.
从中随机地取出n件(n30.
如图阴影部分所示.
22.
0,1)中随机地取两个数,求:(1)两个数之和小于的概率;(2)两个数之积小于的概率.
【解】设两数为x,y,则0乙反)由对称性知P(甲正>乙正)=P(甲反>乙反)因此P(甲正>乙正)=46.
Surething):若P(A|C)≥P(B|C),P(A|)≥P(B|),则P(A)≥P(B).
【证】由P(A|C)≥P(B|C),得即有同理由得故47.
一列火车共有n节车厢,有k(k≥n)个旅客上火车并随意地选择车厢.
求每一节车厢内至少有一个旅客的概率.
【解】设Ai={第i节车厢是空的},(i=1,…,n),则其中i1,i2,…,in1是1,2,…,n中的任n1个.
显然n节车厢全空的概率是零,于是15故所求概率为48.
设随机试验中,某一事件A出现的概率为ε>0.
试证明:不论ε>0如何小,只要不断地独立地重复做此试验,则A迟早会出现的概率为1.
【证】在前n次试验中,A至少出现一次的概率为49.
袋中装有m只正品硬币,n只次品硬币(次品硬币的两面均印有国徽).
在袋中任取一只,将它投掷r次,已知每次都得到国徽.
试问这只硬币是正品的概率是多少【解】设A={投掷硬币r次都得到国徽}B={这只硬币为正品}由题知则由贝叶斯公式知50.
巴拿赫(Banach)火柴盒问题:某数学家有甲、乙两盒火柴,每盒有N根火柴,每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中任取一根.
试求他首次发现一盒空时另一盒恰有r根的概率是多少第一次用完一盒火柴时(不是发现空)而另一盒恰有r根的概率又【解】以B1、B2记火柴取自不同两盒的事件,则有.
(1)发现一盒已空,另一盒恰剩r根,说明已取了2nr次,设n次取自B1盒(已空),nr次取自B2盒,第2nr+1次拿起B1,发现已空.
把取2nr次火柴视作2nr重贝努里试验,则所求概率为式中2反映B1与B2盒的对称性(即也可以是B2盒先取空).
(2)前2nr1次取火柴,有n1次取自B1盒,nr次取自B2盒,第2nr次取自B1盒,故概率为51.
n重伯努利试验中A出现奇数次的概率.
16【解】设在一次试验中A出现的概率为p.
则由以上两式相减得所求概率为若要求在n重贝努里试验中A出现偶数次的概率,则只要将两式相加,即得.
52.
设A,B是任意两个随机事件,求P{(+B)(A+B)(+)(A+)}的值.
【解】因为(A∪B)∩(∪)=A∪B(∪B)∩(A∪)=AB∪所求故所求值为0.
53.
设两两相互独立的三事件,A,B和CABC=,P(A)=P(B)=P(C)0,P(A|B)=1,试比较P(A∪B)与P(A)的大小.
(2006研考)【解】因为所以.
59.
某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为p(0【解】这是伯努利概型.
第4次射击恰好第2次命中,即前三次命中一次,所以所求概率为.
60.
在区间(0,1)中随机地取两个数,求这两个数之差的绝对值小于的概率.
【解】设两个数分别为x、y,则019