向量空间教程

第七章空间解析几何与向量代数第一节空间直角坐标系一、教学基本要求1.
掌握空间直角坐标系和空间点的直角坐标的概念.
2.
掌握空间两点间的距离公式.
二、答疑解惑在空间直角坐标系中,xOy坐标面上方点的坐标有何特征解答过xOy坐标面上方的点作垂直于z轴的平面,与z轴的交点一定在z轴的正半轴上,其竖坐标大于零,故在空间直角坐标系中,当点M(,,)xyz的竖坐标z大于零时,这个点就在xOy坐标面的上方.
三、经典例题解析题型空间直角坐标的概念例1指出下列各点所在的坐标面或坐标轴:(2,1,0)A,(0,1,3)B,(1,0,0)C,(0,1,0)D.
解(2,1,0)A在xOy坐标面上,(0,1,3)B在yOz坐标面上,(1,0,0)C在x轴上,(0,1,0)D在y轴上.
例2求点(1,2,3)A分别关于(1)各坐标面;(2)各坐标轴;(3)坐标原点的对称点的坐标.
解(1)点(1,2,3)A关于xOy坐标面的对称点为(1,2,3),关于yOz坐标面的对称点为(1,2,3),关于zOx坐标面的对称点为(1,2,3);(2)点(1,2,3)A关于x轴的对称点为(1,2,3),关于y轴的对称点为(1,2,3),关于z轴的对称点为(1,2,3);(3)点(1,2,3)A关于坐标原点的对称点为(1,2,3).
例3求点(4,2,3)A到xOy坐标面及y轴的距离.
解点A到xOy坐标面的距离即为点A的竖坐标的绝对值,即点A到xOy坐标面的距离为3;过点A作垂直于xOy坐标面的直线AB,垂足为点B,过点B再作垂直于y轴的直线BC,垂足为点C,于是直线AC垂直于y轴,即线段AC的长度为点A到y轴的距离,而在直角三角形ABC中,2222||||345ACABBC,于是点A到y轴的距离为5.
四、习题选解1.
求点(2,3,5)分别关于下列条件对称点的坐标:(1)xOy坐标面;(2)y轴;(3)坐标原点.
第七章空间解析几何与向量代数2解(1)关于xOy坐标面的对称点为2,3,5;(2)关于y轴的对称点为2,3,5;(3)关于坐标原点的对称点为2,3,5.
2.
求点4,3,5A到坐标原点0,0,0O,z轴及xOz坐标面的距离.
解到坐标原点0,0,0O的距离为22214(3)552d,到z轴的距离为2224(3)5d,到xOz坐标面的距离为33d.
3.
在yOz坐标面上,求与(3,1,2)A,4,2,2B,0,5,1C三点等距离的点.
解设所求点的坐标为0,,yz,因为该点到3,1,2A,4,2,2B,0,5,1C三点的距离相等,所以222221(5)2(2)4zyzy,并且221(5)zy2222(1)3zy,解得1y,2z,所以该点的坐标为(0,1,2).
4.
在空间直角坐标系中,指出下列各点所在的卦限:1,2,3A,2,3,4B,(2,3,4)C,(2,3,1)D.
解1,2,3A在第四卦限,2,3,4B在第五卦限,(2,3,4)C在第八卦限,(2,3,1)D在第三卦限.
5.
求点(,,)abc分别关于(1)各坐标面;(2)各坐标轴;(3)坐标原点的对称点.
解(1)关于xOy面的对称点为(,,)abc,关于yOz面的对称点为(,,)abc,关于xOz面的对称点为(,,)abc;(2)关于x轴的对称点为(,,)abc,关于y轴的对称点为(,,)abc,关于z轴的对称点为(,,)abc;(3)关于坐标原点的对称点为(,,)abc.
6.
试证明以(4,1,9)A,(10,1,6)B,(2,4,3)C三点为顶点的三角形是等腰直角三角形.
证明由空间直角坐标系中两点距离公式得三角形三条边长分别为222(410)(11)(96)7AB,7AC,72BC.
显然有2227,ABACABACBC,所以此三角形不仅是等腰的还是直角的,即为等腰直角三角形.
第二节向量及其加减法向量与数的乘法一、教学基本要求1.
理解向量的概念.
2.
掌握向量的线性运算.
3.
理解向量的几何表示.
二、答疑解惑1.
任何向量都有确定的方向吗解答应当说,任何非零向量都有确定的方向,只有零向量是个例外,零向量的方向是任意的.
第二节向量及其加减法向量与数的乘法32.
设向量a,b均为非零向量,它们满足什么条件,可以使下面的式子成立(1)abab;(2)abab;(3)abab.
解答(1)由向量加、减法的平行四边形法则可知,在以向量a,b为邻边的平行四边形中,ab,ab都表示平行四边形两条对角线的长度.
若两条对角线的长度相等,则该平行四边形应是矩形,故当a,b垂直时,abab.
(2)根据前面的讨论可知,当π(,)2ab时,abab成立.
(3)根据向量减法的三角形法则知,一般来说,abab,仅当(,)πab时,才有abab.
3.
向量之间可以比较大小吗解答不能.
向量是既有大小,又有方向的量,无所谓大小.
但是,向量的模是一个实数,所以说,两个向量可以比较它们模的大小.
4.
下列式子的几何意义是什么(1)0abc;(2)cab,其中,为实数.
解答根据多个向量相加的法则,(1)表示当三个向量,,abc依次首尾相接时,第三个向量的终点与第一个向量的起点相接,所以(1)表示或是三向量共线,或是以三个向量为边构成一个三角形.
(2)表示向量c可由向量a与b经线性运算得到(也称c能由a与b线性表示),因此,当a与b不平行时,c平行于,ab确定的平面,即,,abc共面;当a与b平行时,c平行于,ab.
三、经典例题解析题型有关向量的运算问题例1设uabc,2vbac,试用,,abc表示32uv.
解323()2(2)55uvabcbacabc.
例2已知非零向量a和b,求一个向量c,使之平分向量a和b之间的夹角.
解因为向量a和b为非零向量,所以其单位向量0a,0b存在,且0aaa,0bbb.
以0a,0b为邻边所生成的平行四边形是一个菱形,这个菱形的对角线平分对角,于是可取c00ababab.
例3在四边形ABCD中,2abAB,BC4ab,CD53ab,证明四边形ABCD为梯形.
分析利用向量关系证明四边形ABCD中的一组对边互相平行,则可知四边形ABCD为梯形.
证明在四边形ABCD中,(2)(4)(53)abababADABBCCD822abBC,所以向量AD∥BC,即四边形ABCD中的一组对边AD和BC互相平行,于是四边形ABCD为梯形.
第七章空间解析几何与向量代数4例4设ABC的边AB被点M和N三等分,已知CMm,CNn,求CA,CB.
解将CM延长到D,使得||||MDCM,连接,ADND,则ACND是平行四边形.
因此,有2CACNCDCM,即2mnCA.
同理,可得2nmCB.
四、习题选解1.
如果平面上一个四边形的对角线互相平分,试用向量证明它是平行四边形.
解如图7-1所示,点M为对角线AC与BD的交点,则AMMC,BMMD,因为ABAMMBMCDMDC,所以//ABDC且||||ABDC,于是四边形ABCD是平行四边形.
2.
设2uabc,3vabc,试用,,abc表示23uv.
解232(2)3(3)5117.
uvabcabcabc第三节向量的坐标一、教学基本要求1.
理解向量在坐标轴上的投影.
2.
理解向量的坐标.
3.
掌握向量的模与方向余弦的坐标表达式.
4.
掌握单位向量的坐标表达式.
二、答疑解惑1.
如何确定一个向量解答确定向量通常有两种方法,一是依据向量既有大小又有方向的特点,分别求出它的大小(模)和方向(方向角或方向余弦);二是求出向量的三个坐标,,xyzaaa,即可写出a{,,}xyzaaa.
2.
怎样求向量的坐标解答求向量的坐标,要根据已知的条件,采取不同的方法.
(1)若已知向量a按基本单位向量的分解式,即xyzaaaaijk,则a{,,}xyzaaa.
(2)若已知向量的起点坐标1111(,,)Mxyz和终点坐标2222(,,)Mxyz,则1221{,MMxx2121,}yyzz.
(3)若已知向量a的模和方向角,,,则acos,cos,cosaaa.
(4)若已知a平行于b,,xyzbbb,则a,,xyzbbb,其中数由a的模和方向确定.
(5)根据向量的运算性质确定.
图7-1第三节向量的坐标5三、经典例题解析题型有关向量的坐标问题例1已知向量a的模为3,且其方向角为60,45,求向量a.
解根据已知条件,可得向量a的方向余弦为121cos,cos,cos222,于是xyzaaaaijkacosiacosjacosk3323222ijk.
例2从点(2,1,7)A沿着向量352aijk的方向取||38AB,求点B的坐标.
解设点B的坐标为(,,)xyz,则向量2,1,7ABxyz.
352aijk的一个方向向量为3,5,2s,于是向量AB和向量s互相平行且方向一致,可得23x1752yz.
令2170352xyzkk,则222222||(2)1735238ABxyzkkk,解得1k,于是325xk,514yk,275zk,所以点B的坐标为(5,4,5).
例3求与向量32aijk平行的单位向量.
解与向量a平行的向量有无数多个,但与a平行的单位向量只有两个,它们是011,3,214aaa,其中a22222213(2)14xyzaaa.
四、习题选解1.
已知(1,0,2)A,(4,5,10)B,(0,3,1)C,(2,1,6)D和54mijk,求:(1)向量a43ABCDm在三个坐标轴上的投影及分向量;(2)a的模;(3)a的方向余弦;(4)与a平行的两个单位向量.
解(1)3,5,8,2,4,5ABCD,a43ABCDm13,7,51,所以a在三个坐标轴上的投影分别为13xa,7ya,51za,在三个坐标轴上的分向量分别为xai13i,7yajj,51zakk.
(2)222137512819a.
(3)13cos2819a,7cos2819,51cos2819.
(4)与a平行的两个单位向量为113,7,512819与113,7,512819.
2.
已知2,1,7A,4,5,2B,线段AB交xOy面于点P,且APPB,求的值.
解设点(,,0)Pxy,则2,1,7APxy,4,5,2PBxy,又因为第七章空间解析几何与向量代数6APPB,可得2(4),1(5),7(2),xxyy解得72.
3.
一个向量的终点在点2,1,7B,它在x轴、y轴和z轴上的投影依次为4,4和7,求这向量的起点A的坐标.
解设(,,)Axyz,则2,1,7ABxyz,由题意知4,4,7AB,解得2x,3y,0z,于是A点的坐标是2,3,0.
4.
设向量a的模为4,它与u轴的夹角为60,求a在u轴上的投影.
解1Prjcos60422aau.
5.
设向量的方向余弦分别满足(1)cos0;(2)cos1;(3)coscos0,问这些向量与坐标轴或坐标面的关系如何解(1)此向量垂直于x轴,平行于yOz坐标面.
(2)此向量指向与y轴正方向一致,垂直于xOz坐标面.
(3)此向量平行于z轴,垂直于xOy坐标面.
第四节数量积向量积*混合积一、教学基本要求1.
熟练掌握用坐标表达式进行向量的数量积与向量积的运算.
2.
掌握两个向量夹角的求法.
3.
熟练掌握两个向量互相垂直、平行的条件.
二、答疑解惑1.
设a0,abac,或abac,那么bc成立吗解答在数量积和向量积的运算中,这种消去律不成立.
abac等价于()0abc,因此只要bc与a垂直就有abac,但是bc与a垂直不一定有bc0.
例如{1,0,1},a{1,1,0},b{0,1,1}c,则1abac,显然bc.
abac等价于()0abc,因此只要bc与a共线,就有abac.
但是bc与a共线不一定有0bc.
例如{1,0,1},{1,1,0},{0,1,1}abc,则abac1,1,1,显然bc.
2.
若向量a与b都是单位向量,那么ab也是单位向量吗解答不一定.
由于ab是个向量,只有当1ab时,它才是单位向量,但是absin(,)abab,所以当向量a与b都是单位向量且它们相互垂直时,ab才是单位向量.
第四节数量积向量积*混合积73.
以下等式成立吗为什么(1)2()aabab;(2)222abab.
解答在一般情况下,以上二式都不对.
(1)的左端是与a平行的向量,而右端是与b平行的向量.
只有当ab时,(1)才成立.
(2)的左端22222cos(,)cos(,)ababababab,而右端却没有2cos(,)ab,所以只有当//ab时(2)才成立.
4.
数量积的主要用途有哪些解答(1)求向量的模:aaa.
(2)求两个向量的夹角:当,00ab时,(,)arccosababab.
(3)求一个向量在另一个向量上的投影:0Prjaabbaba.
特别地,向量a在直角坐标系中的坐标为:xaPrjiaai;yaPrjjaaj;zaPrjkaak.
(4)向量a与b垂直的充分必要条件是0ab或0xxyyzzababab.
5.
向量积的主要用途有哪些解答(1)求与两个非共线向量a与b同时垂直的向量s,可取sab或sba.
(2)求由两个非共线向量a,b所确定的平面的法向量n,可取nab.
(3)求以向量a,b为邻边的平行四边形的面积:Sab.
(4)给定不共线的三点,,ABC,求点C到直线AB的距离:||||ABACdAB.
(5)向量a与b平行(即共线)的充分必要条件是ab0或yxzxyzaaabbb.
三、经典例题解析题型有关向量的数量积与向量积的运算例1填空:(1)设向量3,2,1a,b42,,3k,若a与b垂直,则k;若a与b平行,则k.
(2)设||3a,||4b,且a与b垂直,则abab.
解(1)应分别填263和23.
因为若a与b垂直,则0ab,即4322103k,从而解得263k;若a与b平行,则对应坐标成比例,即321423k,从而解得23k.
第七章空间解析几何与向量代数8(2)应填24.
因为()()2()ababaaabbabbbaabba,注意到已知向量a与b垂直,故ababπ22sin2341242baab.
例2求向量a32ijk在向量b22ijk上的投影.
解向量a在向量b上的投影为222311(2)225Prj31(2)2babab.
例3求向量b,使得它与向量22aijk平行,且18ab.
解设向量b的坐标为,,xyz,由已知可得ab2218xyz,又因为向量b和a平行,所以令212xyzk,则2,,2xkykzk,将它们代入到2218xyz中,得到2k.
于是4,2,4xyz,所以向量b的坐标为4,2,4.
例4已知向量a,b,c两两垂直,且||1a,||2b,||3c,求向量dabc的模和它与向量b的夹角.
解2dddabcabc22222214abcabbcca,所以||14d.
又cosdbdbabcbabbbcbdbdb4214214,故2arccos14.
例5已知||2a,||5b,||7c,并且0abc,计算abbcca和abbcca的值.
解因为0abc,所以abc,又因为abccab,所以向量a与向量b同向,向量a与向量c反向,向量b也与向量c反向,于是abbcca25cos057cosπ72cosπ10351439.
进一步地,sin00abab,sinπ0bcbc,sinπ0caca,因此abbcca0,所以abbcca0.
例6若3a,1b,且a和b的夹角π6,求:(1)向量ab和ab的夹角;(2)以向量2ab和3ab为邻边的平行四边形的面积.
解(1)设向量ab和ab的夹角为,则()()cosabababab.
由题设可知22π33,1,cos,31cos,62abababab22aba227bab,即7ab.
22221ababab,即1ab.
第四节数量积向量积*混合积9又因为22()()2ababaabbab,所以2cos7,即2arccos7.
(2)所求平行四边形的面积为π53(2)(3)5()55sin62ababababab.
注平行四边形的面积是由向量积的模的几何意义得到的,在这里向量积(2)ab(3)ab的模|(2)(3)|abab表示以向量2ab和3ab为邻边的平行四边形的面积.
例7证明:(1)若,abcdacbd,则ad与bc共线;(2)2ab222()abab.
证明(1)要证两个向量共线,即证两个向量平行,亦即证()()0adbc.
因为adbcabacdbdcabbdbdcd0,所以ad与bc共线.
(2)设向量a和b的夹角为,因为2222sinabab,2222()cosabab,所以2222222sinabababab2cos22ab.
例8已知向量12aMM,13bMM,且两个向量的夹角为.
过点2M作线段13MM所在的直线的垂线,垂足为点D.
证明:(1)12MMD的面积等于22ababb;(2)当向量a和b的夹角为何值时,12MMD的面积取得最大值解(1)设12MMD的面积为S,则1211||||cossin22aaSMDMD21sin24a.
又因为cos,sinabababab,所以22ababb222sincos2abb21sin24aS.
(2)由21()sin24Sa,可得当π4或3π4时,12MMD的面积取得最大值.
四、习题选解1.
判断题:(1)若0ab,则0a或0b.
()(2)若0ab,则0a或0b.
()(3)若abac,则bc.
()(4)若,00ab且acbc,则ab.
()(5)若00,ab均是单位向量,则00ab也是单位向量.
()(6)若,,abc均为非零向量,并且,,abcbcacab,则,,abc相互垂直且都为单位向量.
()第七章空间解析几何与向量代数10(7)cos(,),sin(,)abababababab.
()(8)若,ab均为单位向量,且0ab,则1ab.
()解(1)*;(2)*;(3)*;(4)*;(5)*;(6)√;(7)*;(8)*.
2.
求向量{4,3,4}a在向量{2,2,1}b上的投影.
解Prj2babab.
3.
设32aijk,2bijk,求:(1)ab及ab;(2)(2)3ab及2ab;(3)a与b夹角的余弦.
解(1)ab3112213,ab31257121ijkijk.
(2)(2)3ab(6)18ab,22()2(57)10214ababijkijk.
(3)3cos(,)221ababab.
4.
已知OA3ik,OB3jk,求OAB的面积.
解因为OAOB10333013ijkijk,所以1119||991222OABSOAOB.
5.
试用向量证明直径所对的圆周角是直角.
证明如图7-2所示,给定一个圆O,AMB是直径AB所对的圆周角.
因为22||||0,MAMBOAOMOBOMOBOMOBOMOBOM所以AMB是直角.
6.
设a,b,c为单位向量,且满足0abc,求abbcca.
解由abc0得()abc,()bca,()cab,所以2(3,abbccabacacbcabbbaacc所以32abbcca.
7.
已知1(1,1,2)M,2(3,3,1)M和3(3,1,3)M.
求与12MM,23MM同时垂直的单位向量.
解122,4,1MM,230,2,2MM,a12236,4,4MMMM,所求单图7-2