模糊数学模糊数学的产生

模糊数学的基本思想是什么

二十世纪六十年代，产生了模糊数学这门新兴学科。

模糊数学的产生 现代数学是建立在集合论的基础上。

集合论的重要意义就一个侧面看，在与它把数学的抽象能力延伸到人类认识过程的深处。

一组对象确定一组属性，人们可以通过说明属性来说明概念（内涵），也可以通过指明对象来说明它。

符合概念的那些对象的全体叫做这个概念的外延，外延其实就是集合。

从这个意义上讲，集合可以表现概念，而集合论中的关系和运算又可以表现判断和推理，一切现实的理论系统都一可能纳入集合描述的数学框架。

但是，数学的发展也是阶段性的。

经典集合论只能把自己的表现力限制在那些有明确外延的概念和事物上，它明确地限定：每个集合都必须由明确的元素构成，元素对集合的隶属关系必须是明确的，决不能模棱两可。

对于那些外延不分明的概念和事物，经典集合论是暂时不去反映的，属于待发展的范畴。

在较长时间里，精确数学及随机数学在描述自然界多种事物的运动规律中，获得显著效果。

但是，在客观世界中还普遍存在着大量的模糊现象。

以前人们回避它，但是，由于现代科技所面对的系统日益复杂，模糊性总是伴随着复杂性出现。

各门学科，尤其是人文、社会学科及其它“软科学”的数学化、定量化趋向把模糊性的数学处理问题推向中心地位。

更重要的是，随着电子计算机、控制论、系统科学的迅速发展，要使计算机能像人脑那样对复杂事物具有识别能力，就必须研究和处理模糊性。

我们研究人类系统的行为，或者处理可与人类系统行为相比拟的复杂系统，如航天系统、人脑系统、社会系统等，参数和变量甚多，各种因素相互交错，系统很复杂，它的模糊性也很明显。

从认识方面说，模糊性是指概念外延的不确定性，从而造成判断的不确定性。

在日常生活中，经常遇到许多模糊事物，没有分明的数量界限，要使用一些模糊的词句来形容、描述。

比如，比较年轻、高个、大胖子、好、漂亮、善、热、远……。

在人们的工作经验中，往往也有许多模糊的东西。

例如，要确定一炉钢水是否已经炼好，除了要知道钢水的温度、成分比例和冶炼时间等精确信息外，还需要参考钢水颜色、沸腾情况等模糊信息。

因此，除了很早就有涉及误差的计算数学之外，还需要模糊数学。

人与计算机相比，一般来说，人脑具有处理模糊信息的能力，善于判断和处理模糊现象。

但计算机对模糊现象识别能力较差，为了提高计算机识别模糊现象的能力，就需要把人们常用的模糊语言设计成机器能接受的指令和程序，以便机器能像人脑那样简洁灵活的做出相应的判断，从而提高自动识别和控制模糊现象的效率。

这样，就需要寻找一种描述和加工模糊信息的数学工具，这就推动数学家深入研究模糊数学。

所以，模糊数学的产生是有其科学技术与数学发展的必然性。

模糊数学的研究内容 1965年，美国控制论专家、数学家查德发表了论文《模糊集合》，标志着模糊数学这门学科的诞生。

模糊数学的研究内容主要有以下三个方面： 第一，研究模糊数学的理论，以及它和精确数学、随机数学的关系。

察德以精确数学集合论为基础，并考虑到对数学的集合概念进行修改和推广。

他提出用“模糊集合”作为表现模糊事物的数学模型。

并在“模糊集合”上逐步建立运算、变换规律，开展有关的理论研究，就有可能构造出研究现实世界中的大量模糊的数学基础，能够对看来相当复杂的模糊系统进行定量的描述和处理的数学方法。

在模糊集合中，给定范围内元素对它的隶属关系不一定只有“是”或“否”两种情况，而是用介于0和1之间的实数来表示隶属程度，还存在中间过渡状态。

比如“老人”是个模糊概念，70岁的肯定属于老人，它的从属程度是 1，40岁的人肯定不算老人，它的从属程度为 0，按照查德给出的公式，55岁属于“老”的程度为0.5，即“半老”，60岁属于“老”的程度0.8。

查德认为，指明各个元素的隶属集合，就等于指定了一个集合。

当隶属于0和1之间值时，就是模糊集合。

第二，研究模糊语言学和模糊逻辑。

人类自然语言具有模糊性，人们经常接受模糊语言与模糊信息，并能做出正确的识别和判断。

为了实现用自然语言跟计算机进行直接对话，就必须把人类的语言和思维过程提炼成数学模型，才能给计算机输入指令，建立和是的模糊数学模型，这是运用数学方法的关键。

查德采用模糊集合理论来建立模糊语言的数学模型，使人类语言数量化、形式化。

如果我们把合乎语法的标准句子的从属函数值定为1，那么，其他文法稍有错误，但尚能表达相仿的思想的句子，就可以用以0到1之间的连续数来表征它从属于“正确句子”的隶属程度。

这样，就把模糊语言进行定量描述，并定出一套运算、变换规则。

目前，模糊语言还很不成熟，语言学家正在深入研究。

人们的思维活动常常要求概念的确定性和精确性，采用形式逻辑的排中律，既非真既假，然后进行判断和推理，得出结论。

现有的计算机都是建立在二值逻辑基础上的，它在处理客观事物的确定性方面，发挥了巨大的作用，但是却不具备处理事物和概念的不确定性或模糊性的能力。

为了使计算机能够模拟人脑高级智能的特点，就必须把计算机转到多值逻辑基础上，研究模糊逻辑。

目前，模糊罗基还很不成熟，尚需继续研究。

第三，研究模糊数学的应用。

模糊数学是以不确定性的事物为其研究对象的。

模糊集合的出现是数学适应描述复杂事物的需要，查德的功绩在于用模糊集合的理论找到解决模糊性对象加以确切化，从而使研究确定性对象的数学与不确定性对象的数学沟通起来，过去精确数学、随机数学描述感到不足之处，就能得到弥补。

在模糊数学中，目前已有模糊拓扑学、模糊群论、模糊图论、模糊概率、模糊语言学、模糊逻辑学等分支。

模糊数学的应用 模糊数学是一门新兴学科，它已初步应用于模糊控制、模糊识别、模糊聚类分析、模糊决策、模糊评判、系统理论、信息检索、医学、生物学等各个方面。

在气象、结构力学、控制、心理学等方面已有具体的研究成果。

然而模糊数学最重要的应用领域是计算机职能，不少人认为它与新一代计算机的研制有密切的联系。

目前，世界上发达国家正积极研究、试制具有智能化的模糊计算机，1986年日本山川烈博士首次试制成功模糊推理机，它的推理速度是1000万次/秒。

1988年，我国汪培庄教授指导的几位博士也研制成功一台模糊推理机——分立元件样机，它的推理速度为1500万次/秒。

这表明我国在突破模糊信息处理难关方面迈出了重要的一步。

模糊数学还远没有成熟，对它也还存在着不同的意见和看法，有待实践去检验。

何谓模糊数学？

模糊数学是数学中的一门新兴学科，其前途未可限量。

1965年，《模糊集合》的论文发表了。

作者是著名控制论专 家、美国加利福尼亚州立大学的扎德（L.A.Zadeh）教授。

康托的集合论已成为现代数学的基础，如今有人要修改集合的概念，当然是一件破天荒的事。

扎德的模糊集的概念奠定了模糊性理论的基础。

这一理论由于在处理复杂系统特别是有人干预的系统方面的简捷与有力，某种程度上弥补了经典数学与统计数学的不足，迅速受到广泛的重视。

近40年来，这个领域从理论到应用，从软技术到硬技术都取得了丰硕成果，对相关领域和技术特别是一些高新技术的发展产生了日益显著的影响。

有一个古老的希腊悖论，是这样说的： “一粒种子肯定不叫一堆，两粒也不是，三粒也不是……另一方面，所有的人都同意，一亿粒种子肯定叫一堆。

那么，适当的界限在哪里？我们能不能说，123585粒种子不叫一堆而123586粒就构成一堆？” 确实，“一粒”和“一堆”是有区别的两个概念。

但是，它们的区别是逐渐的，而不是突变的，两者之间并不存在明确的界限。

换句话说，“一堆”这个概念带有某种程度的模糊性。

类似的概念，如“年老”、“高个子”、“年轻人”、“很大”、“聪明”、“漂亮的人”、“价廉物美”等等，不胜枚举。

经典集合论中，在确定一个元素是否属于某集合时，只能有两种回答：“是”或者“不是”。

我们可以用两个值0或1加以描述，属于集合的元素用1表示，不属于集合的元素用0表示。

然而上面提到的“年老”、“高个子”、“年轻人”、“很大”、“聪明”、“漂亮的人”、“价廉物美” 等情况要复杂得多。

假如规定身高1.8米算属于高个子范围，那么，1.79米的算不算？照经典集合论的观点看：不算。

但这似乎很有些悖于情理。

如果用一个圆，以圆内和圆周上的点表示集A，而且圆外的点表示不属于A。

A的边界显然是圆周。

这是经典集合的图示。

现在，设想将高个子的集合用图表示，则它的边界将是模糊的，即可变的。

因为一个元素（例如身高1.75米的人）虽然不是100%的高个子，却还算比较高，在某种程度上属于高个子集合。

这时一个元素是否属于集合，不能光用0和1两个数字表示，而可以取0和1之间的任何实数。

例如对1.75米的身高，可以说具有70%属于高个子集合的程度。

这样做似乎罗嗦，但却比较合乎实际。

精确和模糊，是一对矛盾。

根据不同情况有时要求精确，有时要求模糊。

比如打仗，指挥员下达命令：“拂晓发起总攻。

”这就乱套了。

这时，一定要求精确：“×月×日清晨六时正发起总攻。

”我们在一些旧电影中还能看到各个阵地的指挥员在接受命令前对对表的镜头，生怕出个半分十秒的误差。

但是，物极必反。

如果事事要求精确，人们就简直无法顺利的交流思想——两人见面，问：“你好吗？”可是，什么叫“好”，又有谁能给“好”下个精确的定义？ 有些现象本质上就是模糊的，如果硬要使之精确，自然难以符合实际。

例如，考核学生成绩，规定满60分为合格。

但是，59分和60分之间究竟有多大差异，仅据1分之差来区别及格和不及格，其根据是不充分的。

不仅普遍存在着边界模糊的集合，就是人类的思维，也带有模糊的特色。

有些现象是精确的，但是，适当的模糊化可能使问题得到简化，灵活性大为提高。

例如，在地里摘玉米，若要找一个最大的，那很麻烦，而且近乎迂腐。

我们必须把玉米地里所有的玉米都测量一下，再加以比较才能确定。

它的工作量跟玉米地面积成正比。

土地面积越大，工作越困难。

然而，只要稍为改变一下问题的提法：不要求找最大的玉米，而是找比较大的，即按通常的说法，到地里摘个大玉米。

这时，问题从精确变成了模糊，但同时也从不必要的复杂变成意外的简单，挑不多的几个就可以满足要求。

工作量甚至跟土地无关。

因此，过分的精确实际成了迂腐，适当的模糊反而灵活。

显然，玉米的大小，取决于它的长度、体积和重量 。

大小虽是模糊概念，但长度、体积、重量等在理论上都可以是精确的。

然而，人们在实际判断玉米大小时，通常并不需要测定这些精确值。

同样，模糊的“堆”的概念是建立在精确的“粒”的基础上，而人们在判断眼前的东西叫不叫一堆时，从来不用去数“粒”。

有时，人们把模糊性看成一种物理现象。

近的东西看得清，远的东西看不清，一般的说，越远越模糊。

但是，也有例外的情况：站在海边，海岸线是模糊的；从高空向下眺望，海岸线却显得十分清晰。

太高了，又模糊。

精确与模糊，有本质区别，但又有内在联系，两者相互矛盾、相互依存也可相互转化。

所以，精确性的另一半是模糊。

对模糊性的讨论，可以追溯得很早。

20世纪的大哲学家罗素（B.Russel）在1923年一篇题为《含糊性》（Vagueness）的论文里专门论述过我们今天称之为“模糊性”的问题（严格地说，两者梢有区别），并且明确指出：“认为模糊知识必定是靠不住的，这种看法是大错特错的。

”尽管罗素声名显赫，但这篇发表在南半球哲学杂志的文章并未引起当时学术界对模糊性或含糊性的很大兴趣。

这并非是问题不重要，也不是因为文章写得不深刻，而是“时候未到”。

罗素精辟的观点是超前的。

长期以来，人们一直把模糊看成贬义词，只对精密与严格充满敬意。

20世纪初期社会的发展，特别是科学技术的发展，还未对模糊性的研究有所要求。

事实上，模糊性理论是电子计算机时代的产物。

正是这种十分精密的机器的发明与广泛应用，使人们更深刻地理解了精密性的局限，促进了人们对其对立面或者说它的“另一半”——模糊性的研究。

扎德1921年2月生于苏联巴库，1942年毕业于伊朗德黑兰大学电机工程系，获学士学位。

1944年获美国麻省理工学院（MIT）电机工程系硕士学位，1949年获美国哥伦比亚大学博士学位，随后在哥伦比亚、普林斯顿等著名大学工作。

从1959年起，在加里福尼亚大学伯克莱分校电机工程、计算机科学系任教授至今。

扎德在20世纪50年代从事工程控制论的研究，在非线形滤波器的设计方面取得了一系列重要成果，已被该领域视为经典并广泛引用。

60年代初期，扎德转而研究多目标决策问题，提出了非劣解等重要概念。

长期以来，围绕决策、控制及其有关的一系列重要问题的研究，从应用传统数学方法和现代电子计算机解决这类问题的成败得失中，使扎德逐步意识到传统数学方法的局限性。

他指出：“在人类知识领域里，非模糊概念起主要作用的惟一部门只是古典数学”，“如果深入研究人类的认识过程，我们将发现人类能运用模糊概念是一个巨大的财富而不是包袱。

这一点，是理解人类智能和机器智能之间深奥区别的关键。

”精确的概念可以用通常的集合来描述。

模糊概念应该用相应的模糊集合来描述。

扎德抓住这一点，首先在模糊集的定量描述上取得突破，奠定了模糊性理论及其应用的基础。

集合是现代数学的基础，模糊集合一提出，“模糊”观念也渗透到许多数学分支。

模糊数学的发展速度也是相当快的。

从发表的论文看，几乎是指数般的增长。

模糊数学的研究可分三个方面：一是研究模糊数学的理论，以及它和精确数学、统计数学的关系；二是研究模糊语言和模糊逻辑；三是研究模糊数学的应用。

在模糊数学的研究中，目前已有模糊拓扑学、模糊群论、模糊凸论、模糊概率、模糊环论等分支。

虽然模糊数学是一门新兴学科，但它已初步应用于自动控制、模式识别、系统理论、信系检索、社会科学、心理学、医学和生物学等方面。

将来还可能出现模糊逻辑电路、模糊硬件、模糊软件和模糊固件，出现能和人用自然语言对话、更接近于人的智能的新的一类计算机。

所以，模糊数学将越来越显示出它的巨大生命力。

是否有人反对呢？当然有。

一些概率论学者认为模糊数学不过是概率论的一个应用而已。

一些搞理论数学的人说这不是数学。

搞应用的人则说道理说的很好，但真正的实际效果没有。

然而，国际著名的应用数学家考夫曼（A.Kauffman）教授在访华时说：“他们的攻击是毫无道理的，不必管人家说什么，我们努力去做就是。

”

模糊数学的产生

现代数学是建立在集合论的基础上。

集合论的重要意义就一个侧面看，在于它把数学的抽象能力延伸到人类认识过程的深处。

一组对象确定一组属性，人们可以通过说明属性来说明概念（内涵），也可以通过指明对象来说明它。

符合概念的那些对象的全体叫做这个概念的外延，外延其实就是集合。

从这个意义上讲，集合可以表现概念，而集合论中的关系和运算又可以表现判断和推理，一切现实的理论系统都有可能纳入集合描述的数学框架。

但是，数学的发展也是阶段性的。

经典集合论只能把自己的表现力限制在那些有明确外延的概念和事物上，它明确地限定：每个集合都必须由明确的元素构成，元素对集合的隶属关系必须是明确的，决不能模棱两可。

对于那些外延不分明的概念和事物，经典集合论是暂时不去反映的，属于待发展的范畴。

在较长时间里，精确数学及随机数学在描述自然界多种事物的运动规律中，获得显著效果。

但是，在客观世界中还普遍存在着大量的模糊现象。

以前人们回避它，但是，由于现代科技所面对的系统日益复杂，模糊性总是伴随着复杂性出现。

各门学科，尤其是人文、社会学科及其它“软科学”的数学化、定量化趋向把模糊性的数学处理问题推向中心地位。

更重要的是，随着电子计算机、控制论、系统科学的迅速发展，要使计算机能像人脑那样对复杂事物具有识别能力，就必须研究和处理模糊性。

我们研究人类系统的行为，或者处理可与人类系统行为相比拟的复杂系统，如航天系统、人脑系统、社会系统等，参数和变量甚多，各种因素相互交错，系统很复杂，它的模糊性也很明显。

从认识方面说，模糊性是指概念外延的不确定性，从而造成判断的不确定性。

在日常生活中，经常遇到许多模糊事物，没有分明的数量界限，要使用一些模糊的词句来形容、描述。

比如，比较年轻、高个、大胖子、好、漂亮、善、热、远……。

这些概念是不可以简单地用是、非或数字来表示的。

在人们的工作经验中，往往也有许多模糊的东西。

例如，要确定一炉钢水是否已经炼好，除了要知道钢水的温度、成分比例和冶炼时间等精确信息外，还需要参考钢水颜色、沸腾情况等模糊信息。

因此，除了很早就有涉及误差的计算数学之外，还需要模糊数学。

人与计算机相比，一般来说，人脑具有处理模糊信息的能力，善于判断和处理模糊现象。

但计算机对模糊现象识别能力较差，为了提高计算机识别模糊现象的能力，就需要把人们常用的模糊语言设计成机器能接受的指令和程序，以便机器能像人脑那样简洁灵活的做出相应的判断，从而提高自动识别和控制模糊现象的效率。

这样，就需要寻找一种描述和加工模糊信息的数学工具，这就推动数学家深入研究模糊数学。

所以，模糊数学的产生是有其科学技术与数学发展的必然性。

模糊数学是运用数学方法研究和处理模糊性现象的一门数学新分支。

它以“模糊集合”论为基础。

模糊数学提供了一种处理不肯定性和不精确性问题的新方法，是描述人脑思维处理模糊信息的有力工具。

它既可用于“硬”科学方面，又可用于“软”科学方面。

模糊数学由美国控制论专家L.A.扎德（L.A.Zadeh,1921--）教授所创立。

他于1965年发表了题为《模糊集合论》（《FuzzySets》）的论文，从而宣告模糊数学的诞生。

L.A.扎德教授多年来致力于“计算机”与“大系统”的矛盾研究，集中思考了计算机为什么不能象人脑那样进行灵活的思维与判断问题。

尽管计算机记忆超人，计算神速，然而当其面对外延不分明的模糊状态时，却“一筹莫展”。

可是，人脑的思维，在其感知、辨识、推理、决策以及抽象的过程中，对于接受、贮存、处理模糊信息却完全可能。

计算机为什么不能象人脑思维那样处理模糊信息呢？其原因在于传统的数学，例如康托尔集合论（Cantor′sSet）,不能描述“亦此亦彼”现象。

集合是描述人脑思维对整体性客观事物的识别和分类的数学方法。

康托尔集合论要求其分类必须遵从形式逻辑的排中律，论域（即所考虑的对象的全体）中的任一元素要么属于集合A，要么不属于集合A，两者必居其一，且仅居其一。

这样，康托尔集合就只能描述外延分明的“分明概念”，只能表现“非此即彼”，而对于外延不分明的“模糊概念”则不能反映。

这就是现时计算机不能象人脑思维那样灵活、敏捷地处理模糊信息的重要原因。

为克服这一障碍，L.A.扎德教授提出了“模糊集合论”。

在此基础上，现今已形成一个模糊数学体系。

模糊数学产生的直接动力，与系统科学的发展有着密切的关系。

在多变量、非线性、时变的大系统中，复杂性与精确性形成了尖锐的矛盾。

L.A.扎德教授从实践中总结出这样一条互克性原理：“当系统的复杂性日趋增长时，我们作出系统特性的精确然而有意义的描述的能力将相应降低，直至达到这样一个阈值，一旦超过它，精确性和有意义性将变成两个几乎互相排斥的特性。

”这就是说，复杂程度越高，有意义的精确化能力便越低。

复杂性意味着因素众多，时变性大，其中某些因素及其变化是人们难以精确掌握的，而且人们又常常不可能对全部因素和过程都进行精确的考察，而只能抓住其中主要部分，忽略掉所谓的次要部分。

这样，在事实上就给对系统的描述带来了模糊性。

“常规数学方法的应用对于本质上是模糊系统的分析来说是不协调的，它将引起理论和实际之间的很大差距。

”因此，必须寻找到一套研究和处理模糊性的数学方法。

这就是模糊数学产生的历史必然性。

模糊数学用精确的数学语言去描述模糊性现象，“它代表了一种与基于概率论方法处理不确定性和不精确性的传统不同的思想，……，不同于传统的新的方法论”。

它能够更好地反映客观存在的模糊性现象。

因此，它给描述模糊系统提供了有力的工具。

L.A.扎德教授于1975年所发表的长篇连载论著《The Concept of a Linguistic Variable & Its Application to Approximate Reasoning》（中文译本为：模糊集合、语言变量及模糊逻辑），提出了语言变量的概念并探索了它的含义。

模糊语言的概念是模糊集合理论中最重要的发展之一，语言变量的概念是模糊语言理论的重要方面。

语言概率及其计算、模糊逻辑及近似推理则可以当作语言变量的应用来处理。

人类语言表达主客观模糊性的能力特别引人注目，或许从研究模糊语言入手就能把握住主客观的模糊性、找出处理这些模糊性的方法。

有人预言，这一理论和方法将对控制理论、人工智能等作出重要贡献。

模糊数学诞生至今仅有50年历史，然而它发展迅速、应用广泛。

它涉及纯粹数学、应用数学、自然科学、人文科学和管理科学等方面。

在图象识别、人工智能、自动控制、信息处理、经济学、心理学、社会学、生态学、语言学、管理科学、医疗诊断、哲学研究等领域中，都得到广泛应用。

把模糊数学理论应用于决策研究，形成了模糊决策技术。

只要经过仔细深入研究就会发现，在多数情况下，决策目标与约束条件均带有一定的模糊性，对复杂大系统的决策过程尤其是如此。

在这种情况下，运用模糊决策技术，会显得更加自然，也将会获得更加良好的效果。