应力弹性

弹性力学讲义第三章平面问题的直角坐标解答——byChenping第三章平面问题的直角坐标解答本章主要内容——本章讨论平面问题的直角坐标解答,研究怎样用应力函数(应力函数取多项式形式或级数形式等)解答一些平面问题,讨论的对象有矩形梁的纯弯曲简支梁受均布荷载楔形体受重力和液体压力等问题平面问题公式小结A静力学方程式2.
边界条件1.
平衡微分方程式B几何方程2.
相容方程用应变表示的相容方程1.
位移与应变关系常体力用应力表示的相容方程〈平面应力情况)(平面应变情况)C物理方程1.
平面应力问题2.
平面应变问题变换公式D由应力函数求解时所用公式应力函数表示的相容方程为逆解法半逆解法逆解法的主要步骤就是先设定各种形式的、满足相容方程的应力函数;再求出应力分量;然后根据应力边界条件来考察,在各种形状的弹性体上,这些应力分量对应于什么样的面力,从而得知所设定的应力函数可以解决什么问题.
根据弹性体的边界形状和受力情况,假设部分或全部应力分量为某种相对简单些的函数,从而推出应力函数;应力函数是否满足相容方程,以及原来所假设的应力分量和由这个应力函数求出的,其余应力分量是否满足应力边界条件和位移单值条件.
如果相容方程和各方面的条件都能满足,自然也就得出正确的解答;如果某一方面不能满足,就要另作假设,重新考察.
半逆解法(是针对实际问题来求解)§3-1多项式解答用逆解法求出几个简单平面问题的多项式解答假定体力可以不计取一次式相容方程总能满足!
线性应力函数对应于无体力、无面力、无应力的状态把任何平面问题的应力函数加上一个线性函数,并不影响应力§3-1多项式解答用逆解法求出几个简单平面问题的多项式解答取二次式相容方程也总能满足!
考察该式中每一项所能解决的问题能解决矩形板在y方向受均布拉力(设a>0)或均布压力(设a0)或均布压力(设c弹性力学提出的修正项.
对于通常的低梁,修正项很小,可以不计.
对于较高的梁,则须注意修正项应力分量σy乃是梁的各纤维之间的挤压应力,它的最大绝对值是q,发生在梁顶.
在材料力学中,一般不考虑这个应力分量.
τxy切应力的表达式和材料力学里完全一样.
§3-4简支梁受均布荷载跨中截面的最大正应力为:在梁的左右端存在水平力:h/2l(高跨比)1/21/31/41/5修正项/主要项6.
67%2.
96%1.
67%1.
06%是一个平衡力系§3-5楔形体受重力和液体压力楔形体——左直,右斜角,下为无限长,承受重力及液体压力,楔形体密度1,液体密度2,试求应力分量.
根据具体问题的边界形状、受力特点、量纲分析或材料力学结果,预先假设应力函数为某种形式的函数,其中待定系数由调和方程和边界条件确定.
用半逆解法——任意一点应力分量与容重1g成正比(由楔形体重力引起)与2g成正比(由液体压力引起)还和,x,y有关[力][长度]-2=[力][长度]-3X[长度]应力分量具有多项式——A1gx,B1gy,C2gx,D2gy四种项的组合§3-5楔形体受重力和液体压力2量纲分析1受力特点分析应力函数应当是x和y的纯三次式这些应力分量是满足平衡微分方程和相容方程的.
现在来考察,如果适当选择各个系数,是否也能满足应力边界条件.
§3-5楔形体受重力和液体压力(a)应力边界条件在左面(x=0),应力边界条件是§3-5楔形体受重力和液体压力在右面应力边界条件将系数d,c代入应力式,得到:§3-5楔形体受重力和液体压力应力边界条件是代入简化求解得应力边界条件§3-5楔形体受重力和液体压力在右面§3-5楔形体受重力和液体压力得李维解答例题1矩形截面的简支梁上,作用有三角形分布荷载,试用下列应力函数求解应力分量.
解例题2求图示悬臂梁受P力作用(不计体力)下的应力.
题:设图中的三角形悬臂梁只受重力作用,而梁的密度为,试用纯三次式的应力函数求解.
课堂练习1.
按应力函数求解时,必须满足:区域A内的相容方程在s=sσ上的应力边界条件(假设全部为应力边界条件)多连体中的位移单值条件2.
在半逆解法中寻找应力函数Ф时,通常采用下列方法来假设应力分量的函数形式:由材料力学解答提出假设由边界受力情况提出假设用量纲分析方法提出假设本章内容小结3.
在校核应力边界条件时,必须注意以下几点:首先考虑主要边界(大边界)上的条件,然后考虑次要边界(小边界)上的条件;在主要边界上,必须精确地满足边界条件(2-10),每边应有两个条件;在次要边界上,如不能满足式(2-10),可以应用圣维南原理,用三个积分的边界条件(主矢量和主矩的条件)来代替;必须把边界方程代入边界条件;分清在边界条件中应力和面力的不同的符号规定;除一个次要边界外,其他所有边界条件都必须进行校核并使之满足.
当平衡微分方程和其他应力边界条件都满足以后,从整体平衡条件可以得出,未校核的一个次要边界上的三个积分边界条件是必然满足的.