证明4中国人在尼日利亚被劫持

中档题型训练(四)三角形、四边形中的相关证明及计算命题规律纵观近7年怀化市中考题,三角形常与旋转、折叠、平移等知识点结合起来考查;四边形中要特别关注平行四边形、矩形、菱形和正方形的性质和判定,以及运用其性质解决有关计算的问题.
命题预测根据怀化命题趋势,此考点为必考,仍然是以大题形式呈现,一般设两问,一问证明,一问解答,也可能大问都是证明.
三角形的有关计算及证明【例1】如图,在ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,E为AC边的中点,过点A作AD⊥AB交BE的延长线于点D.
CG平分∠ACB交BD于点G,F为AB边上一点,连接CF,且∠ACF=∠CBG.

求证:(1)AF=CG;(2)CF=2DE.
【解析】(1)要证明AF=CG,可以利用"ASA"证明ACF≌CBG来得到;(2)要证明CF=2DE,由(1)得CF=BG,则只要证明BG=2DE,又利用AED≌CEG可得DG=2DE,再证明DG=BG即可.

【学生解答】证明:(1)∵∠ACB=90°,CG平分∠ACB,AC=BC.
∴∠BCG=∠CAB=45°.
又∵∠ACF=∠CBG,AC=BC,∴ACF≌CBG(ASA),∴CF=BG,AF=CG;(2)延长CG交AB于点H.
∵AC=BC,CG平分∠ACB,∴CH⊥AB,H为AB中点.
又∵AD⊥AB,∴CH∥AD,又∵H为AB的中点,∴G为BD中点,∴BG=DG,∠D=∠EGC.
∵E为AC中点,∴AE=EC.
又∵∠AED=∠CEG,∴AED≌CEG(AAS),∴DE=EG,∴DG=2DE,∴BG=DG=2DE.
由(1)得CF=BG,∴CF=2DE.

1.
(2016宁夏中考)在等边ABC中,点D,E分别在边BC,AC上,若CD=2,过点D作DE∥AB,过点E作EF⊥DE,交BC的延长线于点F,求EF的长.
解:∵ABC是等边三角形,∴∠A=∠B=∠ACB=60°.
∵DE∥AB,∴∠EDC=∠B=60°,∠DEC=∠A=60°,∴EDC是等边三角形,∴DE=DC=2.
∵EF⊥DE,∴∠DEF=90°.
RtDEF中,EF=DE·tan60°=2(1)特殊情形:如图1,当DE∥BC时,有DB__=__EC;(选填">""<"或"=")(2)发现探究:若将图1中的ADE绕点A顺时针旋转α(0°<α<180°)到图2位置,则(1)中的结论还成立吗若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由.
(3)拓展运用:如图3,P是等腰直角三角形ABC内一点,∠ACB=90°,且PB=1,PC=2,PA=3,求∠BPC的度数.
解:(2)成立.
证明:由①易知AD=AE,∴由旋转性质可知∠DAB=∠EAC.
又AB=AC,∴DAB≌EAC,∴DB=CE;(3)如图,将CPB绕点C旋转90°到CEA,连接PE,则CPB≌CEA,∴CE=CP=2,AE=BP=1,∠PCE=90°,∴∠CEP=∠CPE=45°.
在RtPCE中,PE=2证明:(1)∵∠BAC=90°,AB=AC,∴∠B=∠ACB=45°.
∵FC⊥BC,∴∠BCF=90°.
∴∠ACF=90°-45°=45°,∴∠B=∠ACF.
∵∠BAC=90°,FA⊥AE,∴∠BAE+∠CAE=90°,∠CAF+∠CAE=90°,∴∠BAE=∠CAF.
在ABE和ACF中,四边形的有关计算及证明【例2】(2014邵阳中考)准备一张矩形纸片,按如图所示操作:将ABE沿BE翻折,使点A落在对角线BD上的M点;将CDF沿DF翻折,使点C落在对角线BD上的N点.
(1)求证:四边形BFDE是平行四边形;(2)若四边形BFDE是菱形,AB=2,求菱形BFDE的面积.
【解析】(1)由矩形及翻折的性质可证得EDM≌FBN,从而证出四边形BFDE是平行四边形;(2)由菱形及矩形的性质得出∠ABE=∠DBE=∠DBC=30°,利用锐角三角函数可求出AE,BE,进而求出AD,DE,即可求出菱形BFDE的面积.