流形广安一越野车坠河

第28卷第3期北方交通大学学报v01.
28No.
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兰兰』坚;2Q丝文章编号:1000—1506(2004)03—0021—06复域上几个过极限环积分流形的几何结构蒋风光,管克英(北京交通大学理学院,北京100044)摘要:研究了几个多项式自治系统在复域上过其极限环积分流形的复杂的几何结构,得到了在积分流形碰到无穷远奇点后黎曼曲面的4种变化趋向,并且从李群角度上证明了这些系统具有不可积性.
关键词:微分方程解析理论;复平面;极限环;积分流形;李群中图分类号:0174.
52文献标识码:ASeVeralGeometricStructureofIntegralManifoldPassingLimitCycleonComplexD0mainJlANGF吼g—guang,GUANKe一哦ng(SchOcdofSciences,Be巧ingJiamngUniverSity,Be巧ing100044,China)Abstract:Severalpolynomialauton(瑚oussystems,whichhaveatleastonelimitcycle,arestudiedbyusingnumericaleValuationandqualitativemethod.
Theirge.
metricstructuresofsolveingman.
ifoldpassinglimitcycleoncomplexnumberplaneareobtained.
TheyaremorecOmplexthanontherealnuml科plane.
WealSOprovethatthoSeSystemsarenotintegrableinthesenseofLieGroups.
Keywoms:analytictheoryofdifferentialeqation;cOmplexnumberplane;limitcycle;integ础manifold;LieGroups复域定性研究是微分方程理论的一个新的分支.
问题的提出、方法的创造和成果的取得都有着广阔的前景.
众所周知,实变量自治系统的定性方法在希尔伯特第16问题研究中遇到了极大困难,许多数学家开始用复解析理论的方法来定性研究这类问题.
这是因为系统的右方及解都具有很强的解析性.
复解析函数具有局部能决定整体的性质,充分利用解析函数的良好性质经常能够解决常微分方程的某些困难问题.
基于上述指导思想,数学家秦元勋等人在希尔伯特第16问题的研究中取得了一些非常重要的成果,撰写了《常微分方程定义的积分曲面》一书uJ.
Sophus.
Lie将群论应用到微分方程的可积性研究,创造了李群理论,并有基本结果,即二阶多项式自治系统如果接受某个非平凡李群,则可根据该李群对系统积分.
文献[1]证明了方程的可积性与方程是否接受大范围的李群密切相关,并给出结果:若方程存在一孤立极限积分流形且该流形具有自稠密性,则该方程不接受任何非平凡单参数解析李群,方程在该意义下不可积.
因为极限环就是一种拓扑孤立的极限积分流形,所以对于存在极限环的多项式自治系统来说,可以根据复域上过其极限环的积分流形的几何结构,从接受李群角度上,判断它们的可积性.
例如,文献[3]证明了复域上的VanderPol方程的通过实平面上极限环的积分流形具有自稠密性,因此它具有不可积性.
对于一些收稿日期:2003.
10.
09作者简介:蒋风光(1972一),男,山东阳信人,硕士生.
唧mil:fg—jiang@etang.
com管克英(1942一),男,河北安新人,教授,博士生导师.
22北方交通大学学报第28卷1研究方法、相关定义及引理f挚:P(训,z)浮一Ⅲ"'(1)l塞=Q(…)一嚣蹦叭引.
面上的一个带形区域内解析.
此带形区域以实轴为对称轴,宽度为2卢(卢为某确定正数,也可能是无限大).
并且缌(叫(T),z(T))在该带形区域内也是周期的,且周期等于实系统(1)中极限环的周期口,即删(T+a)=硼(T),z(T+口)=z(T).
定义1对于存在唯一极限环的多项式自治系统:集合r={(删(丁),z(丁))f￡∈C}表示解流形,用于表示集合11的闭包;集合n={(叫(￡+ir),z(￡+ir))I￡∈R},用t表示c的闭包;集合11:={(叫(￡+ir),2(￡+ir))I￡∈R+},用rj表示11j的闭包;集合r;={(砌(￡+ir),z(￡+ir))I￡∈R一},用ri表示集合rf的闭包.
对于存在多个极限环的多项式自治系统圪表示m个极限环中的第押个.
与豫相对应的4个集合分别表示为r{骗、r{毖)、r{端、r{琥,它们的闭包分别表示为蕊、了嚼、可瓣、可森.
定义2厂(ro)=粤嵴IW(￡+iro)I,g(ro)=m警Iz(￡+iro)I,l铂I≤J9(注:根据引理2这些极值的确存在而且可以达到).
引理3【3J当01.
41沿￡的正半轴和负半轴继续延拓且不碰到奇点时,解流形(硼(T),z(T))分别趋向有限远奇点A2(2,1.
8)和有限远奇点02(0,0).
(2)对于极限环磋,带形区域为D={T=￡+irI￡∈R,{rI0.
310,￡一+.
.
时继续延拓,发现解流形缠绕到开始的柱面结构.
例如11{3;击120=r{5弦.
350\r{3;击350.
当r>0.
310,￡一~oo时继续进行解析延拓,解流形到达无限远奇点A37(一1,0).
(2)对于极限环y;,解析延拓所得解流形(硼(T),名(￡))在带形区域D={丁=￡+irI￡∈R,lrI0.
610,￡一一o.
时继续延拓,解流形趋向无限远奇点A37(一1,0);当￡一+∞时,解流形"共轭"地缠绕到过极限环y5的解流形开始形成的柱面结构.
例如r{3温2鸫=碍ii±嘶18\11㈤:0618.
(注:等式左边集合是对应于极限环y5,右边集合对应极限环镌).
r=o.
356与r=一o.
611分别位于虚轴的正半轴和负半轴上,不防称之为"共轭"式缠绕.
(3)对于极限环),;,解析延拓所得解流形(叫(T),z(T))在带形区域D={T=￡+irJ￡∈R,lrl<0.
610}内先形成一个连通到无穷远的柱面结构.
在r=0.
610、￡=一0.
320或2.
69时,碰到无穷远奇点B37(0,0),柱面结构破坏,解流形以无穷远奇点为临界奇点,无穷次分层.
数值计算的结果见表2.
表2极限环碡的数值计算结果1抽.
2№l乜ofn1玎n商calevall塌tj∞ab.
utlirnitq,de绣解流形f—-一∞￡_+o.
趋向无穷远奇点与限环钙相同A37(一1,o)一翦蘸246=司瓶\r{封!
o.
625定理3从接受李群的角度上,系统(7)不具有可积性.
证明微分方程的变换群理论给出了以下事实[5]:若系统(7)接受如下的(局部)单参数李群{2咒m一'i'(8)z=驴(砌,z,s)…7式中,s∈J(J是实轴上关于原点对称的某开区间),2§!
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垄奎望奎兰兰塑竺翌兰f孥:e(叫,z)擘一Ⅲ一7(9)此外,在11淄、11㈤、r㈢上必须恒为o,因为它们都是拓扑孤立集合.
所以可得,(垂(叫o,名o))=0和,(西(训.
,z.
))=0,即,("),"∈c的零点有凝聚点,根据对.
厂(")的解析|生要求,只能有.
厂(")三0.
从接受李群的角度上,系统(7)只接受平凡李群,从而不具有可积性.
3结论多项式自治系统过极限环的解流形在复平面上进行解析延拓,解流形(叫(T),z(T))在一条带形区域内先形成一个连通到无穷远奇点的柱面结构.
在本文研究的几个具体例子中,解流形碰到无穷远奇点后,柱面结构破坏,以无穷远奇点为临界奇点,黎曼曲面开始分层.
当沿￡的正向或负向继续延拓时,至少出现了以下4种可能走向:①每一层等距缠绕到解流行解析延拓形成的柱面结构.
②每一层共轭式缠绕过另一极限环的解流行解析延拓形成的柱面结构.
③每一层趋向有限远奇点.
④每一层趋向无限远奇点.
同时根据所得的解流形的几何结构,从接受李群的角度,证明了系统(2)和系统(7)不具可积睦.
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