黎曼流形黎曼几何学的黎曼流形

黎曼流形的联络与曲率

流形上的黎曼度量给定后，我们可以得到一个唯一确定的对称（即无挠）联络，并且它保持黎曼度量。

这个联络称为这个黎曼度量的Levi-Civita联络。

有了联络，我们就可以定义向量场的协变微分和协变导数，从而建立起流形上的微分学。

欧氏空间的联络就是通常意义上的向量函数的微分。

黎曼度量还诱导出曲率的概念，它反映了流形的弯曲程度。

曲率处处为零的流形称为平坦黎曼流形。

欧氏空间就是最常见的平坦流形。

德国数学家高斯最早研究了曲面上的曲率，发现这种曲率是内蕴的，尽管它的定义式不是内蕴的。

局部等距把黎曼流形上测地线映成另一个黎曼流形上测地线，怎么证明呢！！想了好久都没想出来

如果是在广义相对论中使用的黎曼几何, 其实应该是带有(伪)黎曼度量的流形上的几何学. 这个概念是非常宽泛的: 通常所说的欧式几何, 双曲几何都是其特例(曲率分别为0或负常数). 而球面几何是曲率为正常数的特例. 在黎曼几何中给定了黎曼度量, 就可以讨论"测地线", 大意是流形上连接两点的最短的曲线. 对欧式几何来说, 两点间直线段最短, 因此测地线就是直线. 对球面几何来说, 两点间的最短曲线是大圆的弧, 因此测地线是大圆(即所在平面过球心的圆). 所以在球面几何中, 纬线并不是"直线". 任意两个大圆都会相交于一对对径点, 因此不存在"平行线". 最后补充一点技术细节: 最早研究非欧几何是为了证明平行公理和其它公理的独立性. 人们建立满足其它公理而不满足平行公理的模型 (例如Poincare圆盘). 依据其中"平行公理"的形式分为双曲几何(至少有两条), 欧式几何(恰有一条)和椭圆几何(没有). 但球面几何其实不成立"两点决定一条直线", 所以球面几何其实并不是椭圆几何. 不过在进行某种技术处理之后可以使其成立, 但是有点抽象, 所以就不在这里写了.

微分流形的概念

参见条目：流形 具体说来,设M是一个豪斯多夫拓扑空间。

U是M的开集,h是U到n维欧氏空间R的开集(常取为单位球内部或立方体内部等等)上的一个同胚映射,则(U，h)称为一个坐标图,U称为其中点的一个坐标邻域。

设M为开集系{Uα}所覆盖,则(Uα,hα)的集合称为M的一个坐标图册。

如果M的坐标图册中任何两个坐标图都是C相关的,则称M有C微分结构,又称M为n维的C微分流形。

C相关是指流形M上同一点的不同坐标之间的变换关系是C可微分的(k=0,1,…,∞或ω)，依通常记号C表示解析函数。

具体来说, 如p∈Uα∩Uβ,(x,）(x)(i=1,…,n)分别是p在两个坐标图(Uα,hα)，(Uβ,hβ)下的(局部)坐标,即那么它们之间的关系式可表为而?关于x（j=1,2，…，n）具有直到k次的连续导数。

k=0时,M是拓扑流形；k>0时,就是微分流形；k=ω时，是解析流形。

C流形又常称为光滑流形。

如果微分流形M是一个仿紧或紧致拓扑空间，则称M为仿紧或紧致微分流形。

如果可选取坐标图册使微分流形M中各个坐标邻域之间的坐标变换的雅可比行列式都大于零，则称这个流形是可定向的。

球面是可定向的，麦比乌斯带是不可定向的。

同一拓扑流形可以具有本质上不同的微分结构。

米尔诺（John Milnor）首先发现作为一个拓扑流形，七维球面上可有不同于标准微分结构的怪异微分结构。

后来弗里德曼（Michael Freedman）等得出如下的重要结果:四维欧氏空间中也有多种微分结构，这与其他维数的欧氏空间只有惟一的微分结构有着重大区别。

黎曼几何是研究什么空间的几何问题的

黎曼几何研究黎曼流形上的几何问题。

流形是一类局部等同于欧几里得空间（普通空间）的空间结构，其中的黎曼流形上定义了度量ds^2=sigma(gij(u)duiduj)，从而赋予流形一定的分析结构，可以在其上建立几何学。

黎曼几何直接促成了相对论的产生。

对黎曼几何的学习可参考复分析、微分几何等方面的教程。

请简介下：古典微分几何，微分流形，黎曼几何，现代微分几何等之间的差别和关系

古典主要是曲线曲面论，有解析几何，高数基础就行 现代的很抽象，学习起来比较困难，基础线性代数，高数，少许拓扑，群论就行，可以没有古典的基础。

个人觉得《物理学家用微分几何》较好 开始学会觉得很抽象，难懂，坚持下去就好，加油！

黎曼几何学的黎曼流形

黎曼几何是黎曼流形上的几何学。

黎曼流形指的是一个n维微分流形M，在其上给定了一个黎曼度量g，也就是说，在微分流形M的每一个坐标邻域（U,x）内，用一个正定对称的二次微分来度量二个无限邻近的点（x1,x2，…，xn）和（x1+dx1，x2+dx2，…，xn+dxn）之间的距离。

这里（gij）构成一个正定对称的n×n阵，并假设gij(x）关于（xi）有一定的可微性，而M上连接两点P、Q的曲线C:xi=xi(t），α≤t≤b的长度l(C)就用积分来计算。

为了保证距离的度量与坐标邻域的选取无关，还要求gij满足二阶协变张量的变换规律，用整体黎曼几何的语言来说，就是在微分流形M上给定了一个由分量gij决定的正定对称二阶协变张量场g。

M连同g，即（M,g）称为一个n维黎曼流形，g称为度量张量或基本张量。

由于历史的原因，黎曼流形又常称黎曼空间，但后者偏重于局部意义，即常指黎曼流形的一个开子集或一个坐标邻域。

度量张量g在流形M每点P(x1,x2，…，xn）的切空间Tp(M）中就规定了一个内积gp(或记为：〈，〉）用来计算切向量的长度、交角。

即若向量X，Y∈Tp(M），而，，则X 的长度；X、Y的交角 θ由，0≤θ≤π决定。

如果cosθ=0，即，就称X、Y 为互相正交。

│尣│=1的向量称为单位向量，Tp(M）中由两两互相正交的单位向量组成的基称为正规正交基，对任一点P∈M，在P点的某一邻域U 内总存在n个单位向量场e1,e2，…，en，使得在U的每点它们构成切空间的一个正规正交基，这n个局部向量场称为一个局部正规正交基或局部正规正交标架。

运用局部正规正交标架来研究黎曼几何的方法称为活动标架法。

黎曼几何中的许多公式和几何量在活动标架下有特别简单明了的表达式，例如取ω1，ω2，…，ωn为局部正规正交标架e1，e2，…，en的对偶形式，也称对偶基，即满足的n个一次微分形式，于是在基{ei}下，由于，度量形式可写为。

任一仿紧微分流形总具有黎曼度量，这种黎曼度量的数目是非常繁多的，但也不是完全任意的。

微分流形的度量结构是受它的拓扑结构所制约的，而这种制约关系正是黎曼几何研究的一个重要内容，还存在许多没有解决的问题。

有了计算曲线长度的方法，黎曼流形（M,g）上任意两点P、Q之间的距离d(P,Q）就可以用M中连接P、Q的所有分段可微分曲线的长度的下确界来定义，即 （连接P，Q的分段可微分曲线C）。

于是，M在上述距离下成为一个度量空间，还可以证明，它所导出的度量拓扑与流形M原有的拓扑是等价的。