对称矩阵对称矩阵的行列式计算是否有简便方法？

对称矩阵有什么性质

对称矩阵（Symmetric Matrices）是指元素以主对角线为对称轴对应相等的矩阵。

在线性代数中，对称矩阵是一个方形矩阵，其转置矩阵和自身相等。

1855年，埃米特(C.Hermite,1822-1901年)证明了别的数学家发现的一些矩阵类的特征根的特殊性质，如现在称为埃米特矩阵的特征根性质等。

后来，克莱伯施(A.Clebsch,1831-1872年)、布克海姆(A.Buchheim)等证明了对称矩阵的特征根性质。

泰伯(H.Taber)引入矩阵的迹的概念并给出了一些有关的结论。

什么叫实对称矩阵，请画图举一例。

如果有n阶矩阵A，其各个元素都为实数，矩阵A的转置等于其本身(AT = A) ，则称A为实对称矩阵。

如果有n阶矩阵A，其各个元素都为实数，且aij=aji i,j=1,2,...,n（即这里T表示转置），则称A为实对称矩阵。

主要性质： 1.实对称矩阵A的不同特征值对应的特征向量是正交的。

2.实对称矩阵A的特征值都是实数，特征向量都是实向量。

3.n阶实对称矩阵A必可对角化，且相似对角阵上的元素即为矩阵本身特征值。

4.若λ0具有k重特征值　必有k个线性无关的特征向量，或者说必有秩r(λ0E-A)=n-k，其中E为单位矩阵。

什么叫对称矩阵

原发布者:baiyangncist 对称矩阵的基本性质在学习中我们发现，对称矩阵中的特殊类型如：对角阵，实对称矩阵以及反对称矩阵经常出现，以下首先介绍一些基本概念.1对称矩阵的定义定义1设矩阵，记为矩阵的转置.若矩阵满足条件，则称为对称矩阵.由定义知：1.对称矩阵一定是方阵.2.位于主对角线对称位置上的元素必对应相等.即，对任意、都成立.对称矩阵一定形如.定义2形式为的矩阵，其中是数，通常称为对角矩阵.定义3若对称矩阵的每一个元素都是实数，则称为实对称矩阵.定义4若矩阵满足，则称为反对称矩阵.由定义知：1.反对称矩阵一定是方阵.2.反对称矩阵的元素满足，当时，，对角线上的元素都为零.反对称矩阵一定形如.下面就对称矩阵的一些基本性质展开讨论.2对称矩阵的基本性质性质1同阶对称矩阵的和、差、数乘还是对称矩阵.性质2设为阶方阵，则，，是对称矩阵.性质3设为阶对称矩阵（反对称矩阵），若可逆，则是对称矩阵（反对陈矩阵）.性质4任一矩阵都可表为一对称矩阵与一反对称矩阵之和.性质5设为对称矩阵，与是同阶矩阵，则是对称矩阵.性质6设、都是阶对称矩阵，证明：也对称当且仅当、可交换.

对称矩阵的行列式计算是否有简便方法？

有。

有 A＾－1＝A＾＊／（A）（A）是指矩阵A的行列式。

可知：A＾＊＝（A）A＾－1，因此只要求出矩阵A的行列式和A的逆矩阵就可以求出其伴随矩阵。

把一个m＊n矩阵的行，列互换得到的n＊m矩阵，称为A的转置矩阵。

矩阵转置的运算律： 1、（A＇）＇＝A? 2、（A＋B）＇＝A＇＋B＇?? 3、（kA）＇＝kA＇（k为实数）?? 4、（AB）＇＝B＇A＇ 若矩阵A满足条件A＝A＇，则称A为对称矩阵，由定义知对称矩阵一定是方阵，而且位于主对角线对称位置上的元素必对应相等。

即aij＝aji，对任意i、j都成立。

对于任何方形矩阵X、X＋XT是对称矩阵。

A为方形矩阵是A为对称矩阵的必要条件。

对角矩都是对称矩阵。

扩展资料： 两个对称矩阵的乘积是一个对称矩阵当且仅当两个矩阵的乘积是可交换的。

两个实对称矩阵的乘法是可交换的当且仅当它们的特征空间相同时。

每一个实方阵都可以写成两个实对称矩阵的乘积，每一个复合矩阵都可以写成两个复对称矩阵的乘积。

如果对称矩阵A的每个元素都是实数，则A为Hermite矩阵。

当且仅当所有元素都为零时，矩阵是对称的和斜对称的。