短时傅里叶变换怎样在MATLAB中做短时傅立叶变换

短时傅立叶变换原理

短时傅里叶变换是给信号在时域上加窗，把信号分成一小段一小段，分别做傅里叶变换； 小波变换直接更换了基函数，将无限长的三角函数基换成了有限长的会衰减的小波基。

相比于窗宽窄不能变化的短时傅里叶变换，小波基的尺度可以伸缩，从而解决了时域、 频域分辨率不可兼得的问题，并且可以实现正交化。

傅里叶变换的例子

一个关于实数离散傅里叶变换(Real DFT)实例 先来看一个变换实例，一个原始信号的长度是16，于是可以把这个信号分解9个余弦波和9个正弦波（一个长度为N的信号可以分解成N/2+1个正余弦信号，这是为什么呢？结合下面的18个正余弦图,我想从计算机处理精度上就不难理解，一个长度为N的信号，最多只能有N/2+1个不同频率，再多的频率就超过了计算机所能所处理的精度范围），如下图： 9个正弦信号： 9个余弦信号： 把以上所有信号相加即可得到原始信号，至于是怎么分别变换出9种不同频率信号的，我们先不急，先看看对于以上的变换结果，在程序中又是该怎么表示的，我们可以看看下面这个示例图： 上图中左边表示时域中的信号，右边是频域信号表示方法，从左向右表示正向转换(Forward DFT)，从右向左表示逆向转换(Inverse DFT)，用小写x[]表示信号在每个时间点上的幅度值数组, 用大写X[]表示每种频率的幅度值数组, 因为有N/2+1种频率，所以该数组长度为N/2+1，X[]数组又分两种，一种是表示余弦波的不同频率幅度值：Re X[]，另一种是表示正弦波的不同频率幅度值：Im X[]，Re是实数(Real)的意思，Im是虚数(Imagine)的意思，采用复数的表示方法把正余弦波组合起来进行表示，但这里我们不考虑复数的其它作用，只记住是一种组合方法而已，目的是为了便于表达（在后面我们会知道，复数形式的傅里叶变换长度是N，而不是N/2+1）。

用Matlab进行傅里叶变换 FFT是离散傅里叶变换的快速算法，可以将一个信号变换到频域。

有些信号在时域上是很难看出什么特征的，但是如果变换到频域之后，就很容易看出特征了。

这就是很多信号分析采用FFT变换的原因。

另外，FFT可以将一个信号的频谱提取出来，这在频谱分析方面也是经常用的。

FFT结果的具体物理意义。

一个模拟信号，经过ADC采样之后，就变成了数字信号。

采样定理告诉我们，采样频率要大于信号频率的两倍。

采样得到的数字信号，就可以做FFT变换了。

N个采样点，经过FFT之后，就可以得到N个点的FFT结果。

为了方便进行FFT运算，通常N取2的整数次方。

假设采样频率为Fs，信号频率F，采样点数为N。

那么FFT之后结果就是一个为N点的复数。

每一个点就对应着一个频率点。

这个点的模值，就是该频率值下的幅度特性。

具体跟原始信号的幅度有什么关系呢？假设原始信号的峰值为A，那么FFT的结果的每个点（除了第一个点直流分量之外）的模值就是A的N/2倍。

而第一个点就是直流分量，它的模值就是直流分量的N倍。

而每个点的相位呢，就是在该频率下的信号的相位。

第一个点表示直流分量（即0Hz），而最后一个点N的再下一个点（实际上这个点是不存在的，这里是假设的第N+1个点，也可以看做是将第一个点分做两半分，另一半移到最后）则表示采样频率Fs，这中间被N-1个点平均分成N等份，每个点的频率依次增加。

例如某点n所表示的频率为：Fn=(n-1)*Fs/N。

由上面的公式可以看出，Fn所能分辨到频率为为Fs/N，如果采样频率Fs为1024Hz，采样点数为1024点，则可以分辨到1Hz。

1024Hz的采样率采样1024点，刚好是1秒，也就是说，采样1秒时间的信号并做FFT，则结果可以分析到1Hz，如果采样2秒时间的信号并做FFT，则结果可以分析到0.5Hz。

如果要提高频率分辨力，则必须增加采样点数，也即采样时间。

频率分辨率和采样时间是倒数关系。

假设FFT之后某点n用复数a+bi表示，那么这个复数的模就是An=根号a*a+b*b，相位就是Pn=atan2(b,a)。

根据以上的结果，就可以计算出n点（n≠1，且n<=N/2）对应的信号的表达式为：An/(N/2)*cos(2*pi*Fn*t+Pn)，即2*An/N*cos(2*pi*Fn*t+Pn)。

对于n=1点的信号，是直流分量，幅度即为A1/N。

由于FFT结果的对称性，通常我们只使用前半部分的结果，即小于采样频率一半的结果。

下面以一个实际的信号来做说明。

假设我们有一个信号，它含有2V的直流分量，频率为50Hz、相位为-30度、幅度为3V的交流信号，以及一个频率为75Hz、相位为90度、幅度为1.5V的交流信号。

用数学表达式就是如下：S=2+3*cos(2*pi*50*t-pi*30/180)+1.5*cos(2*pi*75*t+pi*90/180)。

式中cos参数为弧度，所以-30度和90度要分别换算成弧度。

我们以256Hz的采样率对这个信号进行采样，总共采样256点。

按照我们上面的分析，Fn=(n-1)*Fs/N，我们可以知道，每两个点之间的间距就是1Hz，第n个点的频率就是n-1。

我们的信号有3个频率：0Hz、50Hz、75Hz，应该分别在第1个点、第51个点、第76个点上出现峰值，其它各点应该接近0。

实际情况如何呢？我们来看看FFT的结果的模值如图所示。

从图中我们可以看到，在第1点、第51点、和第76点附近有比较大的值。

我们分别将这三个点附近的数据拿上来细看： 1点： 512+0i 2点： -2.6195E-14 - 1.4162E-13i 3点： -2.8586E-14 - 1.1898E-13i 50点：-6.2076E-13 - 2.1713E-12i 51点：332.55 - 192i 52点：-1.6707E-12 - 1.5241E-12i 75点：-2.2199E-13 -1.0076E-12i 76点：3.4315E-12 + 192i 77点：-3.0263E-14 +7.5609E-13i 很明显，1点、51点、76点的值都比较大，它附近的点值都很小，可以认为是0，即在那些频率点上的信号幅度为0。

接着，我们来计算各点的幅度值。

分别计算这三个点的模值，结果如下： 1点： 512 51点：384 76点：192 按照公式，可以计算出直流分量为：512/N=512/256=2；50Hz信号的幅度为：384/(N/2)=384/(256/2)=3；75Hz信号的幅度为192/(N/2)=192/(256/2)=1.5。

可见，从频谱分析出来的幅度是正确的。

然后再来计算相位信息。

直流信号没有相位可言，不用管它。

先计算50Hz信号的相位，atan2(-192, 332.55)=-0.5236,结果是弧度，换算为角度就是180*(-0.5236)/pi=-30.0001。

再计算75Hz信号的相位，atan2(192, 3.4315E-12)=1.5708弧度，换算成角度就是180*1.5708/pi=90.0002。

可见，相位也是对的。

根据FFT结果以及上面的分析计算，我们就可以写出信号的表达式了，它就是我们开始提供的信号。

总结：假设采样频率为Fs，采样点数为N，做FFT之后，某一点n（n从1开始）表示的频率为：Fn=(n-1)*Fs/N；该点的模值除以N/2就是对应该频率下的信号的幅度（对于直流信号是除以N）；该点的相位即是对应该频率下的信号的相位。

相位的计算可用函数atan2(b,a)计算。

atan2(b,a)是求坐标为(a,b)点的角度值，范围从-pi到pi。

要精确到xHz，则需要采样长度为1/x秒的信号，并做FFT。

要提高频率分辨率，就需要增加采样点数，这在一些实际的应用中是不现实的，需要在较短的时间内完成分析。

解决这个问题的方法有频率细分法，比较简单的方法是采样比较短时间的信号，然后在后面补充一定数量的0，使其长度达到需要的点数，再做FFT，这在一定程度上能够提高频率分辨力。

具体的频率细分法可参考相关文献。

怎样在MATLAB中做短时傅立叶变换

假设原数据存储在A(...)里面 就这样： B=abs(fft(A)) plot(B) 但这样的横坐标是从1到A的元素个数，并没有意义。

要量化到采样频率： 假设采样率fs，A共有777个元素 则： C=linspace(0,fs,778) 记住要加一。

C(778)=[ ] 把多的那一个去掉。

具体原因，比较复杂。

然后就plot(C,B) 此时横坐标：频率 纵坐标：幅度 但fs/2--fs的那一段其实和前面的对称，可以忽略。

纵坐标，是幅度。