第二章
2.1.试叙述多元联合分布和边际分布之间的关系。
解多元联合分布讨论多个随机变量联合到一起的概率分布状况 ^(X1,X2^^Xp)的联合分布密度函数是一个p维的函数而边际分布讨论是X=(X1,X2^\Xp)的子向量的概率分布其概率密度函数的维数小于 p。
解设(X 1 X2)的均值向量为 〜J2协方差矩阵为 C/T21 °12 2 则其联
芒21丿
2.2设二维随机向量(X1X2) ■服从二元正态分布 写出其联合分布。
2.3已知随机向量(X1 X2) •的联合密度函数为
合分布密度函数为f(X1,X2)
2[(d-6(论—a) (b-a)(x2—c) -2(论一a)(x2—c)]
(b—a)2(d-c)2
其中a^^^b,c^x2咗d。求
(1) 随机变量X1和X2的边缘密度函数、均值和方差;
(2) 随机变量X1和X2的协方差和相关系数
(3) 判断X1和X2是否相互独立。
(1)解随机变量X1和X2的边缘密度函数、均值和方差;
(b-a) (d-c) 22
2(d-c)(x1 -a)x2 d_c 2[(b—a)t—2(xi—a)t]dt
(b 「a)2(d_c)2 (b-a)2(d 「c)2d_c
2(d-c)(xi-a)X2 [(b-a)t2-2(xi-a)t2]
(b 「a) (
所以
由于Xi服从均匀分布则均值为 以2方差为 ib2.2-a
同理-则均值为「
1° 其它 2
(2)解随机变量 Xi和X2的协方差和相关系数;
C 0V(Xi,X2)
(cd)(ba)
36
、=C0V(Xi,X2)=i
冬冬3
(3)解判断X i和X2是否相互独立。
Xi和X2由于f(X,,X2)=fXi(Xi)fx2(X2)所以不独立。
2.4设X=(Xi,X2川Xp)服从正态分布 已知其协方差矩阵 为对角阵证明其分量是相
互独立的随机变量。
解 因为X=(X1,X2^(Xp)的密度函数为
J/2 1 _|
-1
2
又由于艺二 -2
1
~2
-1
1
~2
竹丿
则f(Xi,…,Xp)
p -
J—川匚p exp-
p1 (X._丄)2exp 1 2 f(X1). ..f(Xp)i八「2二 L.
则其分量是相互独立。
2.5由于多元正态分布的数学期望向量和均方差矩阵的极大似然分别为
n_ _J
勺八(Xi-X)(Xi
「35650.00、
在SPSS^求样本均值向量的操作步骤如下:
1. 选择菜单项Analyze^Descriptive Statistics^Descriptives打开Descriptives对话框。将待估计的四个变量移入右边的 Variable s列表框中如图2.1 。
图2.1 Descriptives对话框
2. 单击O ptio ns按钮打开O ptio ns子对话框。在对话框中选择Mean复选框 即计算样本均值向量如图 2.2所示。单击Continue按钮返回主对话框。
图2.2 Optio ns子对话框
3.单击0K按钮执行操作。则在结果输出窗口中给出样本均值向量如表 2.1 即样本均值向量为(35.3333 12.3333 17.1667, 1.5250E2)。
在SPSS中计算样本协差阵的步骤如下
1. 选择菜单项 Analyz e宀Correlate宀Bivariate打开Bivariate Correlations对话框。将三个变量移入右边的 Variables列表框中如图
2.3。
图2.3 Bivariate Correlations对话框
2. 单击O ptio ns按钮打开O ptio ns子对话框。选择
Cross-product deviations and covariances复选框即计算样本离差阵和样本协差阵如图2.4。单击Continue按钮返回主对话框。
图2.4 Optio ns子对话框
3. 单击0K按钮执行操作。则在结果输出窗口中给出相关分析表见表2.2。表中Covariance给出样本协差阵。 (另外 PearsonCorrelation为皮尔逊相关系数矩阵 Sum of Squares and Cross-products为样本离差阵。 )
2.6渐近无偏性、有效性和一致性
2.7设总体服从正态分布 X~Np(y,习有样本X1,X2,. . .,Xn。 由于X是相互独立的正态分布随机向量之和所以X也服从正态分布。又
E(X)=E£Xj/n〕 =£E(X」 /n=£ 卩li m/ 丿 i±i / i=1/
D(X)=D|》XJn=右送D(X—Zy二一
/ 丿 n= nun
所以X~Np( p, y。
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