向量应用多元统计分析课后答案_朱建平版

第二章

2.1.试叙述多元联合分布和边际分布之间的关系。

解多元联合分布讨论多个随机变量联合到一起的概率分布状况 ^(X1,X2^^Xp)的联合分布密度函数是一个p维的函数而边际分布讨论是X=(X1,X2^\Xp)的子向量的概率分布其概率密度函数的维数小于 p。

解设(X 1 X2)的均值向量为 〜J2协方差矩阵为 C/T21 °12 2 则其联

芒21丿

2.2设二维随机向量(X1X2) ■服从二元正态分布 写出其联合分布。

2.3已知随机向量(X1 X2) •的联合密度函数为

合分布密度函数为f(X1,X2)

2[(d-6(论—a) (b-a)(x2—c) -2(论一a)(x2—c)]

(b—a)2(d-c)2

其中a^^^b,c^x2咗d。求

(1) 随机变量X1和X2的边缘密度函数、均值和方差;

(2) 随机变量X1和X2的协方差和相关系数

(3) 判断X1和X2是否相互独立。

(1)解随机变量X1和X2的边缘密度函数、均值和方差;

(b-a) (d-c) 22

2(d-c)(x1 -a)x2 d_c 2[(b—a)t—2(xi—a)t]dt

(b 「a)2(d_c)2 (b-a)2(d 「c)2d_c

2(d-c)(xi-a)X2 [(b-a)t2-2(xi-a)t2]

(b 「a) (

所以

由于Xi服从均匀分布则均值为 以2方差为 ib2.2-a

同理-则均值为「 

1° 其它 2

(2)解随机变量 Xi和X2的协方差和相关系数;

C 0V(Xi,X2)

(cd)(ba)

36

、=C0V(Xi,X2)=i

冬冬3

(3)解判断X i和X2是否相互独立。

Xi和X2由于f(X,,X2)=fXi(Xi)fx2(X2)所以不独立。

2.4设X=(Xi,X2川Xp)服从正态分布 已知其协方差矩阵 为对角阵证明其分量是相

互独立的随机变量。

解 因为X=(X1,X2^(Xp)的密度函数为

J/2 1 _|

-1

2

又由于艺二 -2

1

~2

-1

1

~2

竹丿

则f(Xi,…,Xp)

p -

J—川匚p exp-

p1 (X._丄)2exp 1 2 f(X1). ..f(Xp)i八「2二 L.

则其分量是相互独立。

2.5由于多元正态分布的数学期望向量和均方差矩阵的极大似然分别为

n_ _J

勺八(Xi-X)(Xi

「35650.00、

在SPSS^求样本均值向量的操作步骤如下:

1. 选择菜单项Analyze^Descriptive Statistics^Descriptives打开Descriptives对话框。将待估计的四个变量移入右边的 Variable s列表框中如图2.1 。

图2.1 Descriptives对话框

2. 单击O ptio ns按钮打开O ptio ns子对话框。在对话框中选择Mean复选框 即计算样本均值向量如图 2.2所示。单击Continue按钮返回主对话框。

图2.2 Optio ns子对话框

3.单击0K按钮执行操作。则在结果输出窗口中给出样本均值向量如表 2.1 即样本均值向量为(35.3333 12.3333 17.1667, 1.5250E2)。

在SPSS中计算样本协差阵的步骤如下

1. 选择菜单项 Analyz e宀Correlate宀Bivariate打开Bivariate Correlations对话框。将三个变量移入右边的 Variables列表框中如图

2.3。

图2.3 Bivariate Correlations对话框

2. 单击O ptio ns按钮打开O ptio ns子对话框。选择

Cross-product deviations and covariances复选框即计算样本离差阵和样本协差阵如图2.4。单击Continue按钮返回主对话框。

图2.4 Optio ns子对话框

3. 单击0K按钮执行操作。则在结果输出窗口中给出相关分析表见表2.2。表中Covariance给出样本协差阵。 (另外 PearsonCorrelation为皮尔逊相关系数矩阵 Sum of Squares and Cross-products为样本离差阵。 )

2.6渐近无偏性、有效性和一致性

2.7设总体服从正态分布 X~Np(y,习有样本X1,X2,. . .,Xn。 由于X是相互独立的正态分布随机向量之和所以X也服从正态分布。又

E(X)=E£Xj/n〕 =£E(X」 /n=£ 卩li m/ 丿 i±i / i=1/

D(X)=D|》XJn=右送D(X—Zy二一

/ 丿 n= nun

所以X~Np( p, y。