抽屉[讲稿]淮南人事考试网 2015年国家公务员考试：行测数学运算 容斥原理和抽屉原理精讲

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容斥原理和抽屉原理是国家公务员考试行测科目数学运算部分的“常客” 了解此两种原理不仅可以提高做题效率还可以提高自己的运算能力扫平所有此类计算题。中公教育专家在此进行详细解读。

一、容斥原理

在计数时要保证无一重复无一遗漏。为了使重叠部分不被重复计算在不考虑重叠的情况下把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来然后再把计数时重复计算的数目排斥出去使得计算的结果既无遗漏又无重复这种计数的方法称为容斥原理。

1.容斥原理1——两个集合的容斥原理

如果被计数的事物有A、 B两类那么先把A、 B两个集合的元素个数相加发现既是A类又是B类的部分重复计算了一次所以要减去。如图所示

公式 A∪B=A+B-A∩B

总数=两个圆内的-重合部分的

【例1】一次期末考试某班有15人数学得满分有12人语文得满分并且有4人语、数都是满分那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人?

数学得满分人数→A语文得满分人数→B数学、语文都是满分人数→A∩B至少有一门得满分人数→A∪B。 A∪B=15+12-4=23共有23人至少有一门得满分。

2.容斥原理2——三个集合的容斥原理

如果被计数的事物有A、 B、 C三类那么将A、 B、 C三个集合的元素个数相加后发现两两重叠的部分重复计算了1次三个集合公共部分被重复计算了2次。

如图所示灰色部分A∩B-A∩B∩C、 B∩C-A∩B∩C、 C∩A-A∩B∩C都被重复计算了1次黑色部分A∩B∩C被重复计算了2次因此总数A∪B∪C=A+B+C-(A∩B-A∩B∩C)-(B∩C-A∩B∩C)-(C∩A-A∩B∩C)-2A∩B∩C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C。即得到

公式 A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C

总数=三个圆内的-重合两次的+重合三次的

【例2】某班有学生45人每人都参加体育训练队其中参加足球队的有25人参加排球队的有22人参加游泳队的有24人足球、排球都参加的有12人足球、游泳都参加的有9人排球、游泳都参加的有8人问三项都参加的有多少人?

参加足球队→A参加排球队→B参加游泳队→C足球、排球都参加的→A∩B足球、游泳都参加的→C∩A排球、游泳都参加的→B∩C三项都参加的→A∩B∩C。三项都参加的有A∩B∩C=A∪B∪C-A-B-C+A∩B+B∩C+C∩A=45-25-22-24+12+9+8=3人。

3.用文氏图解题

文氏图又称韦恩图能够将逻辑关系可视化的示意图。从文氏图可清晰地看出集合间的逻辑关系、重复计算的次数最适合描述3个集合的情况。

【例3】某班有50位同学参加期末考试结果英文不及格的有15人数学不及格的有19人英文和数学都及格的有21人。那么英文和数学都不及格的有( )人。

A.4 B.5 C. 13 D. 17

中公解析如图所示按英文及格、数学及格画2个圆圈根据题干条件确定它们重叠。

二、抽屉原理

能利用抽屉原理来解决的问题称为抽屉问题。在行测考试数学运算中考查抽屉原理问题时题干通常有“至少„„才能保证„„”字样。

抽屉原理1

将多于n件的物品任意放到n个抽屉中那么至少有一个抽屉中的物品件数不少于2。(至少有2件物品在同一个抽屉)

抽屉原理2

将多于m×n件的物品任意放到n个抽屉中那么至少有一个抽屉中的物品的件数不少于m+1。 (至少有m+1件物品在同一个抽屉)

下面我们通过几个简单的例子来帮助理解这两个抽屉原理。

【例1】将5件物品放到3个抽屉里要想保证任一个抽屉的物品最少只能每个抽屉放一件有5件物品放了3件还剩5-3×1=2件这两件只能分别放入两个抽屉中这样物品最多的抽屉中也只有2件物品中公.教育版权。

即当物品数比抽屉数多时不管怎么放总有一个抽屉至少有2件物品。

【例2】将10件物品放到3个抽屉里呢?将22件物品放到5个抽屉里呢?

同样按照前面的思路要想保证任一个抽屉的物品数都最少那么只能先平均放。

10÷3=3„„1则先每个抽屉放3件还剩余10-3×3=1件随便放入一个抽屉中则这个抽屉中的物品数为3+1=4件。

22÷5=4„„2则先每个抽屉放4件还剩余22-4×5=2件分别放入两个抽屉中则这两个抽屉中的物品数为4+1=5件。

即如果物体数大于抽屉数的m倍那么至少有一个抽屉中的物品数不少于m+1 。

1.利用抽屉原理解题

一般来说求抽屉数、抽屉中的最多有几件物品时采用抽屉原理其解题流程如下

(1)找出题干中物品对应的量;

(2)合理构造抽屉(简单问题中抽屉明显找出即可) ;

(3)利用抽屉原理1、抽屉原理2解题。

【例题1】外国讲星座 中国传统讲属相。请问在任意的37个中国人中至少有几个人的属相相同?

A.3 B.4 C.5 D.6

中公解析 属相有12种看成12个抽屉则至少有一个抽屉有不少于个人 即至少有4个人属相相同选B。

2.考虑最差(最不利)情况

抽屉问题所求多为极端情况即从最差的情况考虑。对于“一共有n个抽屉要有(取)多少件物品才能保证至少有一个抽屉中有m个物体” 即求物品总数时考虑最差情况这一方法的使用非常有效。具体思路如下

最差情况是尽量不能满足至少有一个抽屉中有m个物品 因此只能将物品均匀放入n个抽屉中。当物品总数=n×(m-1)时每个抽屉中均有m-1个物品此时再多1个 即可保证有1个抽屉中有m个物品。因此物品总数为n×(m-1)+1。

【例题2】从一副完整的扑克牌中至少抽出多少张牌才能保证至少有6张牌的花色相同?

A.21 B.22 C.23 D.24

中公解析此题答案为C。一副完整的扑克牌包括大王、小王;红桃、方块、黑桃、梅花各13张。

至少抽出多少张牌→求取物品的件数考虑最差情况中公.教育版权。

要求6张牌的花色相同最差情况即红桃、方块、黑桃、梅花各抽出5张再加上大王、小王此时共取出了4×5+2=22张此时若再取一张则一定有一种花色的牌有6张。即至少取出23张牌才能保证至少6张牌的花色相同。

中公教育专家建议考生们将以上内容进行认真研究为行测高分奠定牢固基础。