量子首张量子纠缠图像

量子纠缠和量子操作叶明勇+张永生郭光灿(中国科学技术大学量子信息重点实验室,台肥230026)摘要对量子纠缠和量子操作作了介绍,考察了两比特量子纠缠态和量子操作的应用及它们之间的关系.
具体包括:用非最大纠缠纯态来实现任意量子态的确定性远程制备;用纠缠态来实现用于分布式量子计算的非定域门操作;讨论了量子操作的纠缠能力;讨论了两量子比特门的构造.
这些结果有助于理解量子纠缠和量子操作这些量子信息处理中的资源.
关键词量子纠缠量子操作远程态制备量子纠缠是量子信息处理中的一种非常重要的资源,它有许多应用:量子态的隐形传送…密集编码Ⅲ以及基于量子纠缠的密钥传送方案等"】.
量子纠缠也可以用于量子态的远程制备(RSP)t'',51.
与隐形传送不同的是在非最大纠缠态的帮助下也可以进行确定性的远程态制备"1.
量子纠缠和量子操作有着非常紧密的关系.
~方面.
量子非定域操作能够产生纠缠态"1.
另一方面,量子纠缠态可以用来实现非定域的量子操作"'B1.
现在,量子操作和量子纠缠一样被看成是一种物理资源"J.
1基本知识对两体系统而言,如果描述它的量子态不能写成两部分的直积,那么这两体就是纠缠的,描述他们的量子态就是纠缠态.
纠缠的程度是可以进行度量的.
对两量子比特系统来说,纠缠可以用下面将要讲到的并发(concuⅡtnce)来度量¨们,纠缠量处于0和1之间,熟知的4个Bell态有最大的纠缠量为P)=击(Io)@№±11).
|1)),P)=百1(10)omll)@㈨.
我们将会用I盯)或|f)|J)来表示li)olJ).
这4个Bell态互相正交,组成完备的基矢.
我们将会用到的魔幻基(magicbasis)和Bell基有紧密的联系:收稿日期2007—0l一29;接受H期:2007—08—20国家重点基础研究发展计划『编号:2001CB309306}、国家自然科学基金(批准号:60621064,11R174127)雨1中国科学院知识创新T程资助项目+E—mail:myye@mailustceducn万方数据第6期叶明勇等:量子纠缠和量子操作717I呜)=去(10)olo)+11)om-q'I龟)=÷(10)@m11)o㈣,l呜)=÷(10)011)_11)@lo)),『吼)=去(1o)oIo)一11)omV'任意两量子比特纯态可以用魔幻基展开IP)=∑2:一‰』嚷).
态IP)的并发纠缠是C(5v)=I∑;:l《1.
可分态的并发纠缠为0.
任意两量子比特门uAB都可以进行正则分解[111:.
UAs=(UA固UB)Ud(VAo%).
这里的以,仉,"和h都是单量子比特操作,"有特殊的形式:玑(q,吒,码)="p(iz;:一时.
砖),这里的叽是Pauli算子,系数满足Ⅱ,4≥碣≥吒>l码1.
魔幻基是Ud(嘶,啦.
码)的本征态:Ud(嘶,啦,%)I哆)=e1^l哆).
其中丑=+啦一啦+吩,屯=+嘶+啦一吻,也=一嘶一啦一吗,五=一嘶+啦+嵋.
2远程态制备我们先简单的回顾一下量子态的隐形传送方案….
Alice拥有一个量子比特,它处于什么量子态Alice并不关心.
Alice想把自己的量子比特传送给远方的Bob.
隐形传送方案表明Alice并不需要物理的传送自己的量子比特给Bob,但需要消耗一对最大纠缠量子比特对(如Bell态)和两比特的经典通讯,如果Alice和Bob事先共享的不是一对处在最大纠缠纯态的量子比特.
这个任务只能以一定的几率成功地完成.
量子态的隐形传送可咀看成是一种远程态制备的方案,但它和我们一般所说的远程态制备(RSP)是不同的.
远程态制备(RSP)就是Alice希望在Bob的协助下能够按自己的想法让Bob那边的某个粒子处于一个对Alice来说己知的量子态,至于Bob最后是否知道这是什么量子态.
Alice并不关心.
量子态对Alice来说是已知的,这意味着Alice确定性地了解描述这个量子态的参数值或拥有无穷多个处于这个量子态的粒子.
Alice可以通过经典通讯来告诉Bob描述这个量子态的参数的数值,然后Bob根据这些参数来制各出一个处于这个量子态的粒子,从而完成远程态制各.
这个过程要多少经典通讯依赖于Alice希望Bob以多大的精度来制备量子态,理论上来说,要完成确定性的态制各需要无穷多经典通讯.
如果Alice和Bob共享纠缠粒子对.
情形就会不同.
研究结果表明,在可以消耗掉共享的一对纠缠纯态的情形下,即使是确定性的远程态制备所需要的经典通讯量也是有限的,万方数据718中国科学G辑物理学力学天文学第37卷该结果表明纠缠态在某些应用中可以减少经典通讯量"1.
我们以远程制备量子比特纯态来说明量子纠缠在远程态制蔷中的应用"J,假定Alice和Bob事先共享处于以下纠缠态的量子比特对:I%.
(鲫=cos等I唧"n芸㈤,口∈(o,x/2],我们将汪明在消耗掉以上的纠缠态的情况下,只需要有限的经典通讯鼍Alice就可以完成任意量子比特纯态的确定性制备.
量子比特纯态可以用如下式子描述:I中(口,咖)=COS等lo)+e咿sin等队口E【o,Ⅱ】,妒∈【o,2n]作为一种形象描述,可以将量子态l庐(玎,计)与单位球面上的点(1,r/,妒)(极坐标描述)相对应.
为完成我们的证明过程,我们首先证明量子态l中(仉妒))07≤研可以被确定性的远程制备,条件是消耗掉I‰(卯)和有限量的经典通讯.
首先Alice在Bob的协助F可以将共享的纠缠粒子对的状态南I‰(卵)转换成I‰(口)),这个过程需要Alice向Bob进行有限量的经典通讯,Bob并不需要知道口的值.
接着Alice可以单方面将粒子对的状态巾J‰(口))转换成I‰(口,妒))=cos要100)+ei9si";lll/.
这个过程能完成是由于Alice知道伊的值.
然后Alice对自己拥有的粒子A向—芹t《o)+J1))和VZ÷(10)一11))做投影测量.
Bob根据Alice传过来的测量结果对粒子B作适当的么正操作(12或√2旺)就可以让粒子B处于态I中(仉妒))(刁≤一).
这就完成了远程态制各的过程.
以上我们证明了在消耗掉纠缠态I‰(目))和有限的经典通讯量的情况下如何确定性地远程制各以下集合中的量子态:s(卿={1中(仉纠),妒∈【0,2n],0≤口≤0).
注意几个事实:(i)态集合s(o)对应单位球面上的一个球冠;(ii)有限个相同大小的球冠可以覆盖整个球面;(iii)对单量子比特的么正操作对应过球心的某个轴的旋转.
这说明存在有限个单量子比特么正操作U女(k=I,…,M)使得U￡s(o)(k=1,…,M)的并集覆盖所有单比特纯态.
要远程制备不属于集合s(口)中的量子纯态的时候,Alice和Bob可以先制各s(印中的某个态,然后Alice通过有限量的经典通讯告诉Bob对粒子B进行某个单比特操作Ut即可.
以上描述的整个过程使用的经典通讯量都是有限的,但完成了量子态的确定性的远程制各.
量子纠缠在降低经典通讯量方面起了决定性的作用.
3量子纠缠实现量子操作按照量子计算的线路模型,要进行量子计算需要有进行任意单比特么正操作咀及一个非平凡的两比特操作的能力.
有些情况下需要利用量子纠缠态来实现空间上分开的两个量子比特之间的非平凡门操作.
已经证明利用一对处于Bell态的粒子对可以实现对空间上分开的两个量子比特作任意的受控操作17,8,121.
若使用非最大纠缠态,现有方案表明只能以一定的几率万方数据第6期叶明勇等:量子纠缠和量子操作719成功"'….
虽然有时候会失败.
但Duan等人"71已经证明有效的量子计算仍可进行.
假定Alice和Bob在空I'Hq上是分开的.
Alice拥有量子比特a和A,Bob拥有量子比特b和B.
粒子a和b处于如下的纠缠志为J%)…(詈)….
).
+isin㈢哪I).
,ae(.
,势Alice和Bob想利用J%)来对粒子A和B实现如下的量子操作为叫胁s(;)".
¨咖(a醴.
砖=ei鲥,一e(0,势定性地讲,成功的几率不仅依赖参数口和口的值,还依赖于我们实现这个目的所使用的方法.
我们将介绍的是我们所知的能取得最大成功几率的方法…I.
这个方法分成以下几步:第一步,Alice对自己拥有的量子比特a和A进行如下的操作为‰=Io).
(ol.
01A+慨(1l.
o一.
第二步,Alice对粒子a作毋测量,然后把结果告诉Bob.
Bob根据Alice的测量结果对粒子b进行适当的操作(如或呸)就可以让他们所拥有的粒子处于态为I%.
)=cos(詈)lo).
.
』毋)AB+isin(詈]l-).
.
《I庐)AB,这里的J驴)AB是粒子A和B的初态,我们没有写出粒子a的态,因为和下面的讨论无关.
第三步,Bob对自己拥有的量子比特b和B进行如下的操作为U"B=Io).
(ol.
o%+慨(11.
o砖.
粒子b,B和A将会处于态l‰)=cos㈤1).
.
l中)As+isin【詈j|1).
.
霹砖l毋).
.
第四步,Bob对粒子b进行测量,测量由以下3个POVM算子描述为El=zlq)(岛I,呸=y『兜)(吐『,马=Ib一日一岛,这里的I蛳=器|0)b+器I-).
,『哟=墅黑Io).
一竺螋Icos(a/2sin(a/2)1).
,"、,b,b'它们都没有归一化.
如果测量的结果是局,方案就失败了.
如果测量的结果是E.
或易,根据结果他们作些适当局域变换就可以成功地在粒子A和B上实施操作"目).
成功实施"口)的几率为(‰…‰)+(‰吲‰)…,.
为了取得大的成功几率,我们希望J+Y的值越大越好,但是j和Y的取值受到了一定的限制,万方数据中国科学G辑物理学力学天文学第37卷‰如.
):J—=sin蕊eot82(1cos8cosa,幢≤吼P一(口.
)={一)….
…f1一sin乎∞s啦(g≥%).
1005%2—sinO+—cosO嘞e[o.
羽对这个结果,我们作如下的评论:(i)当g固定的时候,成功几率P一(以目)是目的单调递减函数,这说明要实现的受控旋转门的旋转角度越大,成功的几率越低;(ii)当0固定的时候,成功几率p,眦(口,口)是口单调递增函数,这说明要实现同~个门操作,所使用的纠缠态的纠缠量越大成功的几率就越大.
虽然不能证明我们得到的成功几率是最佳的,但是我们得到的几率P.
.
(口,卵的上述两个特点符合我们对晟佳成功几率的期望.
4量子操作改变量子态纠缠量的能力在这一部分我们将讨论两比特么正操作改变量子态纠缠的能力.
我们都知道一个受控非f](CNOT)作用在一个合适的没有纠缠的初态可以产生一个最大纠缠态,但是如果初态没选好,即使同样没有纠缠,受控非门作用后的末态也可能是可分态.
我们用在第二部分提到的并发作为纠缠的度量.
先定义一个两比特初态集为s(co,,)={Ir)lc(P)=co)'集合s(c0,,)就是所有并发纠缠为c0的两比特纯态的集合.
两比特么正操作"B作用在s(co,,)里的态上会得到一个末态集合为s(c0.
uAB)={UASIr)Ic(甲)=Co】.
我们感兴趣的是集合s(co,uAB)中态的并发纠缠的最大值和最小值,这两个值表征着￡,AB改变量子态纠缠的能力.
么正操作u^B有正则分解,这个在第二部分有介绍.
由于局域单比特么正操作不改变系统的纠缠大小,么正操作以.
改变纠缠的能力和其正则分解的核心部分Ud(嘶,a2,喝)改变纠缠的能力相同.
我们要计算的是如下的两个量为cf姒(c0,q,啦·吩)2maxI击车s(co,乩)c(中),G曲(co,q,吒,吻)=ITli"I母ks(岛,%)c(毋),它们就是集合s(岛,%(喁,嘞,码))中量子态的并发纠缠的最大值和晟小值.
我们的方法是先将初态lP)在魔幻基下进行展开:lr)=∑::散I嚷).
么正操作Ud(q,啦,钙)作用在初态上得乩(啦,啦.
码)IP)=∑;;1b,e屿l哆),这里的冯是参数啦"=l,2,3)的函数,具体表达式在文章的第二部分.
表达初态的参数6,受到两个约束:(i)归一化约束∑名,fIf2=l:(Ⅱ)初态纠缠量约束f∑兰l芎l=co.
运用拉格朗日乘子法.
可以计算出在上面两个约束条件下末态纠缠的最大值和最小值,即C.
(co,q,屹,鸭)和G"(c0,嵋,ah,嘞),具体的计算过程及结果比较复杂,可以参考文献【6】.
万方数据第6期叶明勇等:量子纠缠和量子操作72l5量子计算中的门构造问题我们知道如果能够进行任意的单量子比特门操作和受控非门操作(CNOT).
就可咀实现任意的多比特门操作,从而进行量子计算.
一般认为单比特门操作实现起来相对简单,需要关注的是实现特定门操作所需要使用的受控非门的次数.
这方面研究的一个进展是证明了一个任意的两比特门操作最多需要使用3次受控非门就可以实现"".
这里我们没有强调需要的单比特门操作的次数.
实际上任意的单比特门操作加上一个非平凡的两比特门操作也可以进行量子计算.
这里的非平凡两比特门操作是指作用在某个两比特无纠缠初态上能够得到纠缠态的门操作.
量子门操作由描述系统的哈密顿量演化一段时间来实现,哈密顿量一般不直接产生CNOT,因此有必要讨论异于CNOT的量子门的构造能力.
在第二部分我们介绍了两比特门操作的正则分解,分解的核心部分由3个参数(碣,啦,码)描述,受控非门的3个参数是0,4,0,O),DCNOT门的3个参数是(g/4,Ⅱ,4,0),B门的3个参数是(g/4,Ⅱ,8,o),SWAP门的3个参数是(n/4.
n/4,;t/4),√swAP门操作的3个参数是(Ⅱ/8,n18,"/8).
我们给出了两比特门构造中的一个必要条件Il".
从中可以得出如下结论:如果两比特门操作Ud(喁,啦,嘞)在单比特门操作的辅助下使用n次可以构造任意的两比特量子门,则有关系式n(q+az—I哟I)≥3'r/4,n(oq—a2一l吒I+1c/4)≥3n14,参数还受到约束x/4≥碣≥a2≥l啦I.
可以发现当n=2时,只有B门才能满足上面两个不等式,也就是说B门在单比特门的辅助F使用2次可能能够构造任意的两比特门操作,实际上B门是有这个能力的啪1.
当n=3时可以发现4sWAP不能满足上述不等式,它需6次才可以构造任意的两比特门操作.
4§WAP门由交换相互作用哈密顿or叮产生,它是由交换作用产生的门中构造能力最强的量子门.
许多两比特门操作可以满足"=3时的必要条件不等式.
比方说超控制f](supercontrolledgate)"".
超控制门是正则分解的核心部分参数为(g/4,锡,0)的一类门.
我们给出了在单比特门操作的辅助下3次使用%(n/4,啦,o)如何构造任意的两比特门操作乩(以,hy,^z)的明确方案.
在构造两比特门操作的能力上超控制门Ud啊,4,啦.
o)不比受控非f](CNOT)差.
实际上由受控非门CNOT的正则分解的核心部分参数(n/4,0,0)可以看出它是超控制门的一个特例.
6小节我们简单地介绍了两比特量子态和量子门操作的一些基本知识,介绍了量子纠缠在远程态制各中的应用以及量子纠缠和量子门操作之间的一些关系.
我们关于利用量子纠缠远程制各量子态的结果表明非最大纠缠态也能确定性的完成一些量子信息的处理任务.
利用纠缠态来实行非定域的量子门操作是纠缠态的另一个应用.
我们取得了已知的最大的成功几率.
虽然我们不能证明我们得到的结果是最佳的,但是我们得到的结果符合我们对最佳结果的期望,即:(i)使用的纠缠越多,成功的几率越大;(ii)要实行的量子门操作的非定域性越强,成功的几率越小.
我们讨论了量子门操作产生纠缠的能力.
这对我们如何利用量子操作来有效地万方数据中国科学G辑物理学力学天文学第37卷产生量子纠缠这种稀缺资源很有意义.
我们也讨论了两量子比特门操作的构造问题,我们发现超控制门操作与控制非f](CNOT)--样,最多使用3次就能构造出任意的两比特门操作,是否只有超控制门操作才有3次使用就能构造出任意的两比特门操作还是一个没有解决的问题,还值得讨论.
另外.
与本文相关的有文献【21—26]等.
特别地,文献[221研究了有辅助例予情形下的量子门操作的纠缠能力.
结果很有意义.
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