量子首张量子纠缠图像

第59卷第12期2010年12月1000鄄3290/2010/59(12)/8365摇鄄06物摇理摇学摇报ACTAPHYSICASINICAVol.
59,No.
12,December,2010訫2010Chin.
Phys.
Soc.
耗散环境下三原子之间稳定纠缠的量子反馈控制*陈摇宇摇邹摇健覮摇李军刚摇邵摇彬(北京理工大学物理系,北京摇100081)(2010年3月12日收到;2010年6月22日收到修改稿)摇摇研究利用基于量子跳跃的量子反馈控制来产生三个二能级原子之间稳定的纠缠.
考虑三个二能级原子处于一个严重耗散的单模光腔中,分别讨论了反馈作用在一个原子上和反馈同时作用在三个原子上的情况.
研究发现:当反馈作用在某个原子上时,基于量子跳跃的量子反馈能够保护另外两个原子的最大纠缠态.
当反馈同时作用在三个原子上时,选择合适的参数可以得到两个基矢张开的无消相干子空间,并且利用量子轨迹蒙特卡罗波函数方法,得到一定初始条件下系统最终可以演化到这个子空间中三个原子之间的最大纠缠态.
关键词:量子纠缠,量子反馈,量子轨迹PACC:0367*国家自然科学基金(批准号:10974016)资助的课题.
覮通讯联系人.
E鄄mail:zoujian@bit.
edu.
cn1郾引言量子纠缠是量子计算和量子信息处理的一个重要资源,对量子纠缠的研究不仅有助于人们对量子力学基础问题的进一步理解,而且在量子隐形传态[1—5]、量子编码[6—9]、量子密匙分配[10—12]和量子计算中都具有重要的应用价值.
虽然目前许多实验都可以产生纠缠态[13—17],但是实际系统不可避免地要与环境发生相互作用而产生量子消相干,这对于量子纠缠起着严重的破坏作用.
因此,要想得到稳定的高质量量子纠缠,就必须要克服量子消相干[18—20].
长期以来,人们一直在努力寻找克服量子消相干的方法.
将经典控制论的概念引入量子力学领域,得到了一种克服量子消相干的方法,即量子反馈控制.
量子反馈控制的原理是首先对一个系统进行测量,然后根据测量的结果决定是否对系统进行操作,进而调整系统的动力学演化,有效地抑制量子耗散和克服量子消相干.
Wiseman和Milburn[21—24]在理论上提出了利用基于零差测量的连续测量反馈来克服耗散的方案,这一理论在实验上取得了一定的进展[25—28].
在一个包含两个二能级原子的系统中,通过应用马尔科夫反馈方案可以有效地提高系统定态的纠缠[29].
Yamamoto[30]给出了一个确定反馈哈密顿量的方法,利用该方法可以确定有限维系统的反馈哈密顿量,进而得到一个纯的定态.
Carvalho等[31]提出了基于量子跳跃的量子反馈方案,当考虑自发辐射和耗散时,应用这种方案可以得到单模光腔中两原子之间的最大纠缠态.
另外,Carvalho等[32]还对不同探测方式和不同的反馈哈密顿量产生纠缠的效果进行了对比,发现基于量子跳跃的反馈能够更好地保护系统的纠缠.
研究表明,通过对比分析对称量子反馈和非对称量子反馈对耗散的抑制效果,对称量子反馈可以保护四个Bell态不受外部环境的影响,而非对称量子反馈可以辅助制备纠缠度很高的定态量子纠缠而不受量子比特初始状态的影响[33].
对于两个二能级原子分别位于两个单模光腔的情况,研究发现使用基于量子跳跃的反馈方案可以产生空间分离的稳定的纠缠态[34].
在量子信息处理中,稳定的多粒子纠缠起着十分重要的作用.
所以很自然地想到如何使用量子反馈控制克服量子消相干,进而得到稳定的多粒子纠缠态.
本文主要讨论基于量子跳跃的单模光腔中三个二能级原子之间纠缠的量子反馈控制.
研究发摇8366摇物摇摇理摇摇学摇摇报59卷现,当反馈作用在某个原子上时,基于量子跳跃的量子反馈能够保护另外两个原子之间的最大纠缠态;当反馈同时作用在三个原子上时,我们能解析地证明选择合适的参数可以得到两个基矢张开的无消相干子空间,并且利用量子轨迹蒙特卡罗波函数方法,得到一定初始条件下系统最终可以演化到这个子空间中三个原子之间纠缠度最大的态.
2郾模型考虑一个单模光腔中包含三个相同的二能级原子,这三个原子之间无相互作用,每个原子分别与光腔中的单模光场耦合,假设耦合强度均为g,并且施加一经典驱动.
腔模的衰减率为资,三个原子的自发衰减率分别为酌1,酌2和酌3.
在没有反馈的情况下,描述系统的主方程为[32]籽·=-i赘[(J++J-),籽]-ig[(J+a+J-a+),籽]+资D[a]籽+鄱i酌iD[滓i]籽.
(1)这里D(c)为超算符,D(c)籽=c籽c+-12(c+c籽+籽c+c);(2)J-和J+为角动量算符,J-=滓1+滓2+滓3,(3)J+=滓+1+滓+2+滓+3;(4)滓+i和滓i分别是第i(i=1,2,3)个原子的升算符和降算符;a+和a分别是光腔中光子的产生算符和湮没算符.
(1)式等号右边的前两项分别表示经典驱动和原子与光腔的耦合,第三项表示腔模的衰减,第四项表示原子的自发辐射,超算符表示系统的不可逆演化.
当腔模的衰减率资远大于与系统相关的频率时,在绝热近似条件下可以约化掉场的自由度.
这样就得到了只保留原子自由度的主方程[29]籽·=-i赘[(J++J-),籽]+祝D[J-]籽+鄱i酌iD[滓i]籽,(5)其中祝=g2/资为等效集体衰减率.
如果等效集体衰减率远大于原子的自发辐射率,即祝垌酌1,酌2,酌3,这样就可以忽略(5)式等号右边原子的自发辐射项,得到籽·=-i赘[(J++J-),籽]+祝D[J-]籽,(6)这就是著名的Dicke模型.
基于量子跳跃的量子反馈方案如图1所示,每图1摇量子反馈方案当探测器探测到光子就执行量子反馈,反馈哈密顿量用F表示.
应用光电探测方法对系统进行测量,此时信号是间断的,只有探测到光子时才应用反馈哈密顿量.
此时系统的主方程为[31,32,34]籽·=-i攸赘[(J++J-),籽]+祝D[UJ-]籽,(7)其中D[UJ-]=UJ-籽J+U+-(J+J-籽+籽J+J-)/2.
幺正变换U=exp(-iF啄t/攸)表示反馈哈密顿量作用在系统上有限时间啄t的演化,反馈是在探测到光子后马上实施的.
本文使用量子轨迹蒙特卡罗波函数方法[35]对反馈过程进行数值模拟,下面对这种方法进行简单介绍.
对于所研究的系统,首先考虑非厄米哈密顿量H=Hs-i攸2C+C,(8)其中Hs=赘(J++J-),C=UJ-.
在此哈密顿量作用下,当啄t很小时,系统的演化为准1(t+啄t)业=1-iH啄t()攸准(t)业.
(9)因为H是非厄米的,因此准1(t+啄t)业不是归一化的,掖准1(t+啄t)准1(t+啄t)业=掖准(t)1+iH+啄t()攸1-iH啄t()攸准(t)业=1-啄p,(10)其中啄p=啄ti攸掖准(t)(H-H+)准(t)业=啄t掖准(t)C+C准(t)业.
12期陈摇宇等:耗散环境下三原子之间稳定纠缠的量子反馈控制8367摇摇当啄t垲1时,啄p垲1.
定义着为均匀分布于[0,1]之间的随机数,根据着与啄p的比较结果,系统的波函数会有两种不同的形式.
当着逸啄p时,没有量子跳跃发生,由于啄p垲1,这种情况占绝大多数.
此时系统归一化波函数为准(t+啄t)业=准1(t+啄t)业1-啄p.
(11)当着<啄p时,就会发生量子跳跃,此时准(t+啄t)业=C准(t)业.
(12)3郾量子反馈控制本文研究基于量子跳跃的量子反馈控制,系统的主方程是(7)式.
根据Yamamoto理论[30],当且仅当UJ-和i赘(J++J-)+(1/2)祝J+J-有共同的本征矢量准业时,主方程才有稳定的纯态解准业.
应用量子反馈控制时,系统状态演化过程主要受反馈哈密顿量的控制,对于本文所研究的问题,幺正变换U=exp(-iF啄t/攸)代表了反馈哈密顿量作用在系统上有限时间啄t的演化.
下面给出两种不同形式的反馈哈密顿量并进行讨论.
3郾1郾量子反馈只作用在一个原子上摇摇当量子反馈只作用在其中一个原子上时,即F=姿滓1x塥I塥I,幺正变换为U=exp(-iF啄t/攸)=exp(-i姿~滓1x塥I塥I),(13)其中姿~=姿啄t/攸,滓1x=滓1+滓+1.
通过计算不难得到UJ-的本征矢量为准业=C1(-icot姿~gge业+icot姿~geg业-ege业+eeg业),(14)i赘(J++J-)+(1/2)祝J+J-的本征矢量为准忆业=C(2i(-1+1-16(赘/祝)2)4赘/祝gge业-i(-1+1-16(赘/祝)2)4赘/祝姿~geg业-ege业+eeg)业.
(15)这里C1,C2为归一化系数,可分别表示为C1=12(1+cot2姿~),C2=2赘/祝1-1-16(赘/祝)2.
当赘/祝=0郾25,姿~=14仔时,可以得到UJ-和i赘(J++J-)+(1/2)祝J+J-的一个共同本征矢量为准业=-ig业+e业è÷2ge业-eg业è÷2.
摇(16)从(16)式可以看出,在这个状态中原子2和原子3处于最大纠缠态,亦即量子反馈能够克服量子消相干保护原子2和原子3的最大纠缠态.
同理,当反馈作用在原子2上时,量子反馈能够保护原子1和原子3的最大纠缠态;当反馈作用在原子3上时,量子反馈能够保护原子1和原子2的最大纠缠态.
因此,当反馈作用在某个原子上时,基于量子跳跃的量子反馈能够克服量子消相干保护另外两个原子的最大纠缠态.
3郾2郾量子反馈同时作用在三个原子上摇摇当量子反馈同时作用在三个原子上时,此时反馈哈密顿量的形式为F=姿(滓1x塥I塥I+I塥滓2x塥I+I塥I塥滓3x),幺正变换为U=exp(-iF啄t/攸)=exp(-i姿~(滓1x塥I塥I+I塥滓2x塥I+I塥I塥滓3x)).
(17)此时UJ-的本征矢量为渍1业=C1(-icot姿~gge业-gee业+icot姿~egg业+eeg业),(18)渍2业=C1(-icot姿~geg业-gee业+icot姿~egg业+ege业),(19)i赘(J++J-)+(1/2)祝J+J-的本征矢量为渍忆1业=C(2i(-1+1-16(赘/祝)2)4赘/祝gge业-gee业-i(-1+1-16(赘/祝)2)4赘/祝egg业+eeg)业,(20)渍忆2业=C(2i(-1+1-16(赘/祝)2)4赘/祝geg业-gee业-i(-1+1-16(赘/祝)2)4赘/祝egg业+ege)业.
(21)摇8368摇物摇摇理摇摇学摇摇报59卷当参数赘/祝=0郾25,姿~=14仔时,UJ-和i赘(J++J-)+(1/2)祝J+J-两个算符共同的本征矢量为渍1业=0郾5(-igge业-gee业+iegg业+eeg业),(22)渍2业=0郾5(-igeg业-gee业+iegg业+ege业),(23)并且这两个本征矢量的本征值相同.
因此量子反馈控制保护的状态应该处于UJ-和i赘(J++J-)+(1/2)祝J+J-这两个共同本征矢量组成的子空间.
这说明系统的最终状态将依赖于初始状态.
从(22)和(23)式可以看出,渍1业和渍2业不正交,并且不难证明渍1业与13(渍1业-2渍2业)正交.
在计算三原子系统的纠缠度之前,首先简单介绍多体纠缠的度量方法.
本文使用比较常用的Borras等[36]提出的方法计算三个原子之间的纠缠度.
计算的具体步骤如下:先把多体系统分成两部分,对密度矩阵进行部分转置,求出其负的本征值琢i,再根据下列公式得到每一种两体系统的纠缠度:E(i)=22m-1鄱i|琢i|,其中m为两部分子系统中较小的子系统的粒子数.
然后,根据下列公式得到平均纠缠度:E(m)=1Nmbipart鄱Nmbiparti=1E(i),其中N为系统的总粒子数,Nmbipart=Nè÷m表示把N分为N-m和m两部分的所有可能情况的总数.
最后,由下式得到系统的纠缠度:E=1[N/2]鄱[N/2]m=1E(m).
这里[a]表示不大于a的最大整数.
现在考虑被保护子空间的叠加态渍业=w渍1业+1-w23(渍1业-2渍2业),摇(24)其中-1臆w臆1.
利用以上介绍的多体系统纠缠度的计算方法来计算渍1和渍2叠加态(24)式的纠缠度.
图2给出了纠缠度E与w的关系.
从图2可以看出,系统的纠缠度最大为0郾81郾对应w=-0郾8661,0,0郾8661时的态矢量分别为图2摇系统纠缠度E随w的变化关系准1业=0郾2887(igge业+igeg业+2gee业-2iegg业-ege业-eeg业),(25)准2业=0郾2887(-igge业+2igeg业+gee业-iegg业-2ege业+eeg业),(26)准3业=0郾2887(-2igge业+igeg业-gee业+iegg业-ege业+2eeg业).
(27)摇摇下面利用量子轨迹蒙特卡罗波函数方法来求解系统的演化.
通过计算机数值模拟发现:当初始状态为gee业和egg业时,系统最终演化到状态准1业;当初始状态为geg业和ege业时,系统最终演化到状态准2业;当初始状态为gge业和eeg业时,系统最终演化到状态准3业.
这说明,当系统初始无论处于gge业,geg业,egg业,gee业,ege业,还是处于eeg业,系统最终都演化到由(22)和(23)式构成的子空间中的三粒子最大纠缠态.
初始状态为gge业时计算结果如图3所示.
从图3可以看出,系统纠缠度随时间的变化趋于稳定,纠缠度为0郾81郾图3摇系统纠缠度E随祝t的变化关系摇参数赘/祝=0郾25,姿~=14仔,初始状态为|gge业12期陈摇宇等:耗散环境下三原子之间稳定纠缠的量子反馈控制8369摇摇4郾结论本文主要研究了有耗散的情况下基于量子跳跃的单光腔三原子系统的量子反馈控制.
研究发现:当反馈作用在某个原子上时,基于量子跳跃的量子反馈能够保护另外两个原子的最大纠缠态.
当反馈同时作用在三个原子上时,我们选择合适的参数可以得到两个基矢张开的无消相干子空间,并且利用量子轨迹蒙特卡罗波函数方法得到在一定的初始条件下系统最终可以演化到这个子空间中三个原子之间纠缠度最大的态.
值得注意的是,当反馈同时作用在三个原子上,系统初始状态处于可分离态,存在耗散的情况下通过量子反馈控制最终得到了不随时间变化的稳定的三粒子纠缠态.
本文对于单光腔三原子系统量子反馈控制的研究表明,基于量子跳跃的反馈方案能够有效地克服量子消相干.
这为未来利用量子反馈制备稳定的多粒子量子纠缠态提供了一种新途径.
[1]BennettCH,BrassardG,CrepeauC,JozsaR,PeresA,WoottersWK1993Phys.
Rev.
Lett.
701895[2]BouwmeesterD,PanJW,MattleK,EiblM,WeinfurterH,ZeilingerA1997Nature390575[3]ZhengXJ,FangMF,CaiJW,LiaoXP2006Chin.
Phys.
15492[4]ChenXB,DuJZ,WenQY,ZhuFC2008Chin.
Phys.
B17771[5]ChenXB,WenQY,SunZX,ShangguanLY,YangYX2010Chin.
Phys.
B19010303[6]GaoF,WenQY,ZhuFC2008Chin.
Phys.
B173189[7]BennettCH,WiesnerSJ1992Phys.
Rev.
Lett.
692881[8]FuCB,XiaY,ZhangS2006Chin.
Phys.
151682[9]ZhengXJ,XuH,FangMF,ZhuKC2010Chin.
Phys.
B19010309[10]ShorPW,PreskillJ2000Phys.
Rev.
Lett.
85441[11]BennettCH,BrassardG1984Proc.
IEEEInt.
Conf.
Computers,SystemsandSignalProcessing(NewYork:IEEE)pp175—179[12]HeJ,YeL,NiZX2008Chin.
Phys.
B171597[13]ZhangJS,XuJB2009Chin.
Phys.
B182288[14]WuCW,HanY,DengZJ,LiangLM,LiCZ2010Chin.
Phys.
B19010313[15]BouwmeesterD,PanJW,DaniellM,WeinfurterH,ZeilingerA1999Phys.
Rev.
Lett.
821345[16]RauschenbeutelA,NoguesG,OsnaghiS,BertetP,BruneM,RaimondJM,HarocheS2000Science2882024[17]SackettCA,KielpinskiD,KingBE,LangerC,MeyerV,MyattCJ,RoweM,TurchetteQA,ItanoWM,WinelandDJ,MonroeC2000Nature404256[18]RoosCF,LancasterGPT,RiebeM,H覿ffnerH,H覿nselW,GuldeS,BecherC,EschnerJ,Schmidt鄄KalerF,BlattR2004Phys.
Rev.
Lett.
92220402[19]YuT,EberlyJH2004Phys.
Rev.
Lett.
93140404[20]CarvalhoARR,MintertF,BuchleitnerA2004Phys.
Rev.
Lett.
93230501[21]WisemanHM,MilburnGJ1993Phys.
Rev.
Lett.
70548[22]WisemanHM1994Phys.
Rev.
A492133[23]WisemanHM,MilburnGJ1994Phys.
Rev.
A491350[24]WisemanHM1994Ph.
D.
Dissertation(Brisbane:UniversityofQueensland)[25]SmithWP,ReinerJE,OrozcoLA,KuhrS,WisemanHM2002Phys.
Rev.
Lett.
89133601[26]ArmenMA,AuJK,StocktonJK,DohertyAC,MabuchiH2002Phys.
Rev.
Lett.
89133602[27]LahayeMD,BuuO,CamarotaB,SchwabKC2004Science30474[28]GeremiaJM,StocktonJK,MabuchiH2004Science304270[29]WangJ,WisemanHM,MilburnGJ2005Phys.
Rev.
A71042309[30]YamamotoN2005Phys.
Rev.
A72024104[31]CarvalhoARR,HopeJJ2007Phys.
Rev.
A76010301[32]CarvalhoARR,ReidAJS,HopeJJ2008Phys.
Rev.
A78012334[33]LiJG,ZouJ,ShaoB,CaiJF2008Phys.
Rev.
A77012339[34]XueD,ZouJ,LiJG,ChenWY,ShaoB2010J.
Phys.
B43045503[35]OrszagM2000QuantumOptics:IncludingNoiseReduction,TrappedIons,QuantumTrajectories,andDecoherence(Berlin:Springer鄄Verlag)pp205—229[36]BorrasA,MajteyAP,PlastinoAR,CasasM,PlastinoA2009Phys.
Rev.
A79022108摇8370摇物摇摇理摇摇学摇摇报59卷Controllingtheentanglementamongthreeatomsbyquantum鄄jump鄄basedfeedback*ChenYu摇ZouJian覮摇LiJun鄄Gang摇ShaoBin(DepartmentofPhysics,BeijingInstituteofTechnology,Beijing摇100081,China)(Received12March2010;revisedmanuscriptreceived22June2010)AbstractWeconsideramodelconsistingofthreetwo鄄levelatomsinaheavilydampedcavity.
Weshowthatthequantum鄄jump鄄basedfeedbackcanbeusedtogenerateasteadyentangledstateofthreeatomsagainstdecoherence.
Whenthefeedbackactsonjustoneoftheatoms,itcanprotectamaximallyentangledstateofothertwoatoms.
Whenthefeedbackactsonthreeatoms,bychoosingappropriateparameterswecanobtainadecoherence鄄freesubspacespannedbytwovectors,andbyusingquantumtrajectoryMonteCarlowavefunctionmethodwefindthatthemaximallyentangledstateofthreeatomsinthisdecoherence鄄freesubspacecanbeobtainedforsomespecificinitialconditions.
Keywords:entanglement,quantumfeedback,quantumtrajectoryPACC:0367*ProjectsupportedbytheNationalNaturalScienceFoundationofChina(GrantNo.
10974016).
覮Correspondingauthor.
E鄄mail:zoujian@bit.
edu.
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