量子首张量子纠缠图像

引用格式:陈小余.
量子稳定子码的码字纠缠.
中国科学:物理学力学天文学,2015,45:030001ChenXY.
Entanglementofstabilizercodewords(inChinese).
SciSin-PhysMechAstron,2015,45:030001,doi:10.
1360/SSPMA2014-00327论文中国科学:物理学力学天文学2015年第45卷第3期:030001SCIENTIASINICAPhysica,Mechanica&Astronomicaphys.
scichina.
com量子稳定子码的码字纠缠陈小余浙江工商大学信息与电子工程学院,杭州310018*联系人,E-mail:xychen@zjgsu.
edu.
cn收稿日期:2014-08-26;接受日期:2014-12-05;网络出版日期:2015-01-20国家自然科学基金资助项目(批准号:11375152,60972071)摘要量子计算和量子通信是量子信息科学的两个重要组成部分.
量子算法通常用到实系数等权重纯态,其中重要的一类是图态,图态的纠缠已经得到系统的研究.
量子通信中不可避免地要用量子纠错码,其中最广泛使用的是与图态紧密相关的量子稳定子码,可以看作是由图态与经典编码两个要素构成的.
本文将论证量子编码复杂度与量子码字纠缠的关系.
为研究量子码字的纠缠,将证明几何测度、对数鲁棒纠缠和相对熵纠缠等纠缠测度对于量子稳定子码字而言是相等的,纠缠的上下界可由量子编码的生成元确定.
用经典编码可以构造一类量子码,称为CSS码.
其中最常用的是对偶包含法.
对于CSS对偶包含码的码字,证明它的纠缠等于其经典生成元的个数.
本文给出Gottesman码以及相关码的纠缠公式,还发展了迭代算法用来数值计算纠缠量.
关键词量子编码,多组分纠缠,量子测量PACS:03.
67.
Mn,03.
65.
Ud,03.
67.
Acdoi:10.
1360/SSPMA2014-003271引言量子编码对于量子通信和量子计算都非常重要,携带量子信息的量子态容易受到环境消相干的影响而退化,因此需要对量子态进行编码保护.
量子编码使用一系列量子比特门实现,其中单量子比特门比较容易实现,双量子比特门或多量子比特门涉及量子比特间的相互作用,实现的难度大一些,双量子比特门和多量子比特门的总数目实际上可以作为衡量量子编码复杂度的一种合理方法.
显然,同一个量子码会有不同的量子线路实现方法,因此存在最小量子编码复杂度的问题.
因为量子门操作中也会带有消相干,故多余的量子门是有害的,需要尽可能简化量子线路.
观察已有的由量子线路实现的量子编码发现,量子编码复杂度不小于本文将研究的量子编码码字纠缠量(表1).
该经验观察结果有一定的理论依据,因为纠缠是量子比特间相互作用形成的,选取合适的纠缠测度则纠缠可以示性量子比特间相互作用的广泛程度.
因此,量子码字纠缠可以作为量子编码复杂度的可能的下界,是简化量子线路的一个指向.
量子编码的一种实现办法是使用量子图态[1],并且在实验中已经实现用4量子比特图态进行的量子编码[2].
量子图态的纠缠已经得到了广泛的研究[36],但是量子编码具有多样性,一种量子编码可陈小余.
中国科学:物理学力学天文学2015年第45卷第3期以对应多个图态,同时一个量子图态也可以编多种量子码.
因此研究量子码的码字纠缠具有独立的价值和意义.
量子编码是用较多的有冗余的物理量子比特表示逻辑量子比特[7].
如果逻辑量子比特被3个或者更多的组分所拥有,一个组分可以包含1个或多个物理量子比特,那么量子码字就可以看作一种多组分态,通常是多组分纠缠态.
多组分纠缠的定量化是非常活跃的研究领域,即使对于多组分纯态也有许多未解决的问题.
已经提出各种不同的多组分纠缠测度.
包括对数鲁棒纠缠[8],相对熵纠缠[9,10]和几何测度[11]和平均熵等[12,13].
将多组分纠缠态与量子噪声混合则混合后态的纠缠将减少,加入过多的量子噪声则混合后态不再是纠缠态,对数鲁棒纠缠用混合态不再纠缠所能允许加入的最少的任意态(包括量子噪声)的比例来表示混合前多组分纠缠态的纠缠量.
几何测度是一个态到其最近乘积态按保真度度量的距离.
相对熵纠缠是一个态与它的最近分离态的相对熵.
多组分纠缠的定量化通常很困难,因为大多数的纠缠度量方法定义中含有难以求解的变分问题.
即便是多组分纯态,也只得到一些特定态的纠缠,稳定子态是其中之一.
稳定子态是一类多组分纯态,是泡利群中对易可观察量完全集的唯一的共同本征矢量,泡利群是由泡利矩阵和单位矩阵的所有张量积构成的群.
幸运的是,根据对数鲁棒纠缠,相对熵纠缠和几何测度[1416]三者间的不等式,对于稳定子态而言,该三种纠缠测度是相等的[5].
如果泡利群中的对易可观察量集不完备,则稳定了一个Hilbert子空间而不只是稳定子态,该Hilbert子空间就是量子稳定子码[4].
码字则是稳定子码的基.
人们可能会问这三种纠缠测度对于一般的量子稳定子码字是否相等,回答是肯定的,将在本文第2节中介绍.
2量子码字的纠缠测度一个纠缠态与一个任意态混合得到的态可能纠缠也可能是可分离的,取决于混入的任意态的比例t,量子态ρ的全局鲁棒纠缠R(ρ)[8]定义为R(ρ)=mint(1)使得存在一个态(任意态)满足σ=(ρ+t)/(1+t)∈Sep.
(2)这里Sep是可分离态的集合.
因此全局鲁棒纠缠就是能混入量子态ρ的任意态最少比例,使得混合后的态可分离;或者说破坏量子态的纠缠所需的最小任意噪声.
对数鲁棒纠缠表示为LR(ρ)=log2(1+R(ρ)).
(3)相对熵纠缠定义为纠缠态[10]到其最近乘积态的相对熵,可以认为是一种"距离",Er(ρ)=minω∈SepS(ρ∥ω),(4)其中S(ρ∥ω)=S(ρ)tr{ρlog2ω}是相对熵,S(ρ)=tr{ρlog2ρ}是冯·诺依曼熵.
对于纯态|ψ,几何测度定义为Eg(|ψ)=min|∈Prolog2||ψ|2,(5)式中,Pro是直积态的集合.
上述定义扩展以后也可以用于混合态ρ,有Eg(ρ)=minω∈Seplog2tr(ρω),不过,Eg仅仅对于纯态ρ=|ψψ|具有纠缠单调性.
几何测度可以在实验中[17,18]直接测量到.
已经表明一个量子纯态集合{|ψi|i=1,.
.
.
,N},若可以用局域操作和经典通信(LOCC)进行可靠相互区分,则集合能含有的量子纯态的最大数目N由其所含的平均纠缠量所限制[15]:log2NnLR(|ψi)nEr(|ψi)nEg(|ψi),(6)这里n=log2DH,DH是希尔伯特空间的总维数,x=1N∑Ni=1xi表示"平均值".
一个n量子比特的稳定子态|S定义为n个独立的相互对易的泡利群元素Mi的本征值为1的共同本征矢量.
n个本征方程Mi|S=|S完全确定了态|S(除全局任意相因子外).
由n个算符Mi的积组成的群称作稳定子S,而Mi是群S的生成元.
S的一个有nk个生成元的子群也称作稳定子[19],记作M.
不过,MS稳定了2k维的空间.
原则上,该空间就是编码空间{|ψ|T|ψ=|ψ,T∈M},对应于将k量子比特编码到n量子比特的稳定子码.
除了nk个稳定子生成元外,稳定子码还有逻辑操作符030001-2陈小余.
中国科学:物理学力学天文学2015年第45卷第3期X1,···,Xk和Z1,···,Zk.
用码字基组来表达该量子稳定子码0=N∑T∈MT|0n,|c=Xc11···Xckk0,其中c=(c1,···,ck)是二进制矢量,N是归一化因子.
Zi0=0且i=1,···,k.
对稳定子态|S,已经证明[5]LR(|S)=Er(|S)=Eg(|S).
(7)上式对量子稳定子码字|c同样适用.
命题1对于量子稳定子码字|c而言,对数鲁棒纠缠,相对熵纠缠和几何测度纠缠都是等价的.
证明证明对态0成立就足够了,因为|c和0是局域等价的.
注意到nk个生成元M1,···,Mnk和k个逻辑算符Z1,···,Zk稳定了0态.
这nk个生成元和k个逻辑算符之间是相互对易并且是相互独立的.
因此,态0是稳定子态,其3种纠缠测度相互等价[5].
对于量子稳定子码字,我们将这3种纠缠度量统称为纠缠,记为E(|c).
3纠缠上界生成元由各个量子比特的泡利算符X,Y,Z或恒等算符I的乘积构成.
若一生成元仅由Z算符或恒等算符的乘积构成,任何量子比特上不包含X和Y算符,则称为Z型生成元.
命题2量子稳定子码的码字纠缠上界由其非Z型生成元的最少个数所确定.
证明码字为0=N∏nki=1(I+Mi)|0n.
对于Z型生成元Ml,有等式(I+Ml)|0n=2|0n.
在算符的乘积式∏i(I+Mi)中可以将因子(I+Ml)移到最右边并作用后去掉.
因此在将态0分解为直积态线性组合的过程中,其项数R的上限为2r′,其中r′为非Z型生成元的个数.
令r=minr′为非Z型生成元的最小数目,可以人为地通过将Z型生成元替换为一个Z型生成元和一个非Z型生成元的乘积来增加非Z型生成元的数量.
因此需要计算非Z型生成元最小数目.
由此得出Schmidt测度[3]ES=minlog2R的上界为r.
几何测度的上界是Schmidt测度[20],因此命题得证.
对于稳定子群M,不计整体相位±1,±i,每个生成元都可以写为Mi=XaiZbi,其中Xai=jXaijj,Zbi=jZbijj,且ai和bi分别是二进制矢量(ai1,ai2,···,ain)和(bi1,bi2,···,bin).
生成元Mi的另一种表示法为(ai|bi).
可以用生成元矩阵[4](在文献[19]中称之为稳定子矩阵)(A|B)来表示稳定群M,其中A和B是(nk)*n矩阵,矩阵元为Aij=aij,Bij=bij.
通过量子比特位置交换以及将生成元换成稳定子群中的其他群元,总可以将(A|B)写成如下形式(见文献[19]第4章)ID00FGJK,(8)这里I是r*r单位矩阵.
其中r是A矩阵在F2域中的秩,而F2域是0,1两个元素构成的域{0,1},加法和乘法都是模2的.
有了(8)式作为生成元矩阵的标准形式,得以改进纠缠上界.
我们研究泡利测量对码字的影响,考虑(8)式中生成元M的前r行,而忽略其余(nkr)个Z型生成元.
对于标准形式的生成元,有M1=XM′1或M1=YM′1,Mi+1=ZM′i+1或Mi+1=IM′i+1,(i=1,···,r1).
记0n1=N′∏r1i=1(I+M′i+1)|0(n1),其中N′为归一化因子.
对第一个量子比特的泡利Z测量将码字0投影为P(1)z+0=|00n1,(9)P(1)z0=|1M′10n1.
(10)对第j个量子比特的投影测量算符为P(j)z±=12(I±Zj).
两种测量结果±1以等概率出现.
同理,除了X或者Y的测量只有一个结果的特殊情况之外,对第一个量子比特的X或者Y测量也会等概率地将码字投影到测度结果为±1的两个对应态.
当M1=XM′1时,泡利X,Y算符对第一个量子比特的测量将码字0投影到P(1)x±0=12(|0±|1)(I±M′1)0n1,P(1)y±0030001-3陈小余.
中国科学:物理学力学天文学2015年第45卷第3期=12(|0±i|1)(IiM′1)0n1.
当M1=YM′1时,泡利X,Y算符对第一个量子比特的测量将码字0投影到P(1)x±0=12(|0±|1)(I±iM′1)0n1,P(1)y±0=12(|0±i|1)(I±M′1)0n1.
有一种情况是0n1恰为M′1的本征矢量,这时测量结果只有一种.
任何局域投影测量序列都是将态矢|ψ逐步分解到每个测量结果中,最终分解为完全分离的态.
由Schmidt测度的定义[3],得到它的上界ES(|ψ)log2(Nmea),(11)其中Nmea为概率不为零的最终测量结果数目.
用局域泡利测量分解一个量子稳定子码字到完全分离态所需的最少泡利测量步数称为泡利韧性.
考虑由(8)式作为生成元矩阵生成的量子码字,其非Z型生成元最小数目是r,依次进行r步泡利测量,则态分解为乘积态.
因此泡利韧性不会大于r.
事实上(8)式生成的码字态的项数不会超过2r项.
如为2r项,进行r次泡利测量总是可以将其分解为分离态的.
少于2r项的话,可以用更少的测量次数.
命题3量子稳定子码字|c的纠缠以泡利韧性为上界.
证明由方程(11),以及对码字测量得到不同测量结果的概率为1/2,同时Schmidt测度是几何测度的上界,命题得证.
例如,考虑[[8,1,3]]码(见脚注1))[21],其标准形式的稳定子矩阵为XZZZZZZYIXIZIZIZIIXZIIZZZZZXIIIIIZZIYZZXZZIIZXIIZZIIIIXY,对1,5,7量子比特进行泡利Z算符测量.
对每个量子比特测量后,删除其所在的行和列.
剩下的量子比特的稳定子矩阵是XIZZZIXZIZZZXIIZIIXI.
(12)由(12)生成的态05是图态|G4与|0的直积,即05=|G4|0.
删除(12)式的最后一列得到一个新的稳定子矩阵,正是图态|G4的生成元矩阵.
图态|G4的泡利韧性已知为2,因此在Grassl码表(见脚注1))[21]中定义的[[8,1,3]]码的码字泡利韧性为5.
如果我们将[[8,1,3]]码的稳定子矩阵写成(8)式的形式,可以看出选择1,5,7量子比特进行测量的原因在于消去矩阵D,使得余下的新稳定子矩阵不包含D部分,从而对1,5,7进行测量操作以后的态可以写成2部分的直积.
其中一部分纠缠为零.
不在表1中的码字可以简单地根据命题2得到码字纠缠的上界,表1中的码字可由命题3确定其更精确的纠缠上界.
4纠缠下界将物理量子比特的下标表示为I={1,2,.
.
.
,n},对于一个二组分划分,可以分配m个量子比特给A,剩下nm个量子比特给B.
A和B下标的集合分别为IA和IB=IIA.
码字0的约化态为ρB=TrA00.
划分为二组分{IA,IB}后的2组分纠缠为TrρBlog2ρB,即态ρB的熵.
命题4码字的纠缠下界由该码字的任意二组分纠缠确定.
ETrρBlog2ρB.
(13)证明如果定义Erbi为态的某二组分划分的相对熵纠缠,当完全可分离态是该二组分可分离态的子集时,有ErErbi.
注意到Er=E,对于纯态Erbi与二组分纠缠Ebi=TrρBlog2ρB相等,命题得证.
通过对角化ρB得到ρB的熵,而且熵最后可以1)GrasslM.
TableofQuantumError-CorrectingCodes.
http://iaks-www.
ira.
uka.
de/home/grassl/QECC/circuits/index.
html030001-4陈小余.
中国科学:物理学力学天文学2015年第45卷第3期用稳定子矩阵来表示.
码字纠缠的下界由所有的二组分划分中最大的二组分纠缠确定.
因为Z型生成元不贡献新的项给码字0,故不考虑Z型生成元.
下文考虑(A|B)=(ID|EF).
A,B为r个非Z型生成元的r*n二进制矩阵,且rnk.
码字0=N∑∈{0,1}r(1)α()XA|0n=N∑∈{0,1}r(1)α()j∈IAX(A)jjl∈IBX(A)ll|0n,其中(A)j是二进制矢量A的第j个元素,N是归一化因子.
这里α()为α()=12[ΓTTr(ΛΓΛ)]=12Γ1T,(14)其中Λ=diag{1,···,r},且Γ1是将Γ的对角元素变为零而得.
而Γ=ABT=FT+DGT.
式中的加法取模2.
Γ是对称的,因为任何2个生成元之间相互对易,即ABT+BTA=0.
约化态ρB=∑,′∏j∈IAδ(A)j,(′A)j(1)α()+α(′)l,l′∈IBX(A)ll|0(nm)0|(nm)X(′A)l′l′,不计归一化,结果ρB=∑,′∏j∈IAδ(A)j,(′A)j(1)α()+α(′)|(A)B(A)B|,且|(A)B=(A)Im+1,.
.
.
(A)In.
为了得到它的熵,对角化ρB.
不失一般性,设I1=1,I2=2,Im=mr,且记=(ν,τ),其中ν=(1,.
.
.
,m),τ=(m+1,.
.
.
,r).
则|(A)B=|m+1,.
.
.
,r,(D)1,.
.
.
,(D)nr=|τ,D.
记|Ψ(ν)=∑τ(1)α()|(A)B,则ρB=∑ν,ν′,τ,τ′δν,ν′(1)α()+α(′)|(A)B(A)B|=∑ν,ν′δν,ν′|Ψ(ν)Ψ(ν′)=∑ν|Ψ(ν)Ψ(ν)|.
对于|Ψ(ν)态的正交性,考虑Ψ(ν′)|Ψ(ν)=∑τ,τ′(1)α()+α(′)δττ′δD,′D=∑τ(1)α(ν,τ)+α(ν′,τ)δ(ν,τ)D,(ν′,τ)D.
(15)当所有的|Ψ(ν)态之间相互正交时,码字的二组分纠缠至少为m,这由下式可知ρB=12m(1,1,···,1)∑ν=(0,0,···,0)|Ψ(ν)Ψ(ν)|,式中|Ψ(ν)是正交归一化的.
仅当一些|Ψ(ν)态之间非正交时,二组分纠缠才可能小于m.
Ψ(ν′)|Ψ(ν)不为零的条件是(ν+ν′,0)D=0,(16)(ν+ν′)Γ3=0,(17)其中0表示rm维零矢量(0,0,···,0).
Γ3是通过删除r*r矩阵Γ1的前m列和后(rm)行得到的.
故Γ3是矩阵Γ1的m*(rm)子矩阵.
更明确地可以将Γ1写为Γ1=Γ2Γ3ΓT3Γ4.
故α(ν,τ)+α(ν′,τ)=12(νΓ2νT+ν′Γ2ν′T)+(ν+ν′)Γ3τT+τΓ4τT.
因Γ4是对称的并且对角元为零,Γ4项在方程(15)的求和中总是贡献+1因子.
而Γ2项在方程(15)的求和中贡献一个常数因子.
故有(17)式.
令D′是D通过删除其最末rm行而保留D的前m行而得到的矩阵,对于A含前m个量子比特而B含后nm个量子比特这样一种2组分划分,m*(nm)矩阵Q(A,B)=(Γ3,D′)的秩确定了独立矢量|Ψ(ν)的数目.
对除m>r情况之外的所有二组分划分的秩取最大值,得到最大的二组分纠缠并将其作为总纠缠的下界.
El=max[rankF2Q(A,B)].
(18)因Q(A,B)是一个m*(nm)矩阵,其秩不超过min{m,nm}n2,故有Eln2.
考虑当r=m的特殊情况,则Γ3是一个r*0阶矩阵因此不存在.
因此方程(17)消失,只要考虑方程(16).
如果rankF2D=r,则仅当ν=ν′时,方程(16)是成立的.
故有El=r.
030001-5陈小余.
中国科学:物理学力学天文学2015年第45卷第3期5CSS码字纠缠5.
1对偶包含CSS码量子码中重要的一类是用经典码构造的,由Calderbank,Shor[22]和Steane[23]等人提出,其具有的生成元矩阵形式为[24](A|B)=U00V,(19)其中U和V是l*n矩阵.
要求UVT=0确保了生成元之间的相互对易.
因为有2l个稳定子条件作用于n个量子比特的态,编码将k=n2l个量子比特编入为n个量子比特态.
可以将经典奇偶校验矩阵U写成系统形式,U=[ID].
(20)因为ABT=0,对于所有的二进制矢量得到α()=0.
当m=l时,ν=.
故Ψ(ν′)|Ψ(ν)=δνD,ν′D.
由νD=ν′D,得出(ν+ν′)D=0.
因此|Ψ(ν)相互正交的条件为νD=0ν=0,(21)对于所有的二进制矢量ν成立.
当条件(21)成立时,码字纠缠的下界为l.
对于对偶包含码有V=U,所以UUT=0,即DDT=I,满足(21)式.
纠缠的下界为El=l=nk2.
码字0的纠缠上界Eu为X生成元的个数,即为l.
因而CSS对偶包含码的码字纠缠为E=nk2.
(22)若CSS码不是对偶包含码,纠缠上界Eu仍为X生成元的个数l,下界为二进制矩阵D的秩.
5.
2CSS码的图态具有稳定子生成元M1,···,Mnk以及逻辑算符X1,···,Xk和Z1,···,Zk的稳定子码与根据码字稳定子{M1,···,Mnk,Z1,···,Zk}和Xi的乘积构成的字算符所定义的码字稳定子码(CWS)是等价的[1].
任何CWS码与标准形式的CWS码是局域Clifford等价的,后者由图态稳定子和仅含Z算符的字算符构成.
标准稳定子码字由XiZri生成.
矢量集合ri形成CWS图态[1]的邻接矩阵.
因此,给定一个量子稳定子纠错码,能找到它相应的图态.
量子稳定子码的码字纠缠和图态纠缠是类似的,因为它们局域Clif-ford等价.
CSS码具有生成元矩阵(19),且U可以进一步写为式(20)的形式.
现在来构建图态的稳定子.
{M1,···,Mnk,Z1,···,Zk}的生成元矩阵为U000VW,(23)其中(0|W)是逻辑算符Z1,···,Zk的生成元矩阵.
经过初等行变换,将U转变为系统形式[ID].
同时表明将VW转变为[D′I]的形式是可以的,这里I是(nl)*(nl)单位矩阵.
先将VW转换为[RP],其中P是一个上三角方阵,即当i>j时Pij=0.
当Pjj=0时,将第j个量子比特与其后的量子比特互换,从而得到Pjj=1.
这总是可行的,因为P的第j行元素不会全为零,否则[RP]的第j行元素就全为零.
这是由于生成元彼此对易,即UVT=0和UWT=0.
也就是说IRT+DPT=0.
(24)从上面的等式可以推导出如果P的第j行元素全为零的话,那么对于所有的il有Rji=0.
在[RP]中,一个全零的行意味着这一行的生成元为恒等算子,这显然不对.
很容易将[RP]转换为[D′I],那么方程(24)可以写为D′=DT.
对后面的nl个量子比特进行Hadamard转换,生成元矩阵所受转换为ID0000DTII00I0DDT0.
030001-6陈小余.
中国科学:物理学力学天文学2015年第45卷第3期因此,CSS码字的局域Clifford等价图态的邻接矩阵为γ=0DDT0.
(25)邻接矩阵(25)式表示的图态是双色可染色图的图态,给前l个量子比特一种颜色,剩下的nl个量子比特为另一种颜色.
纠缠的上界为Eu=n(nl)=l[25].
纠缠的二组分划分下界为[3]El=12rankF2γ=rankF2D.
对于一个对偶包含CSS码,除双色可染色图外,其相应的图态还有一个特点是DDT=I.
故D是满秩矩阵,而且纠缠的上下界是一致的.
由图态理论和公式(25)也可以确定码字纠缠是E=l.
5.
3Toric码Toric码的提出是为了将量子信息编码于拓扑结构中而得到保护[26],它是一种量子LDPC码[24].
Toric码是一种基于将k*k正方点阵嵌入到轮胎面上的码.
点阵的每条边都携带一个量子比特,故共有n=2k2个量子比特.
对于每个顶点s和每个面p定义如下形式的算符:As=∏j∈star(s)Xj,Bp=∏j∈boundary(p)Zj.
这些算符之间是相互对易的,其中star(s)是顶点s的连接边,boundary(p)是面p的围边.
由∏sAs=1和∏pBp=1知,共有m=2k22个独立的算符构成Toric码的稳定子.
它编码了nm=2个量子比特.
从它的定义看出Toric码是一种CSS码,想要说明的是Toric码不是一个对偶包含码,且它纠缠上下界是不一致的.
通过适当地给边编号,生成元矩阵可以写为如下形式U=IIII.
.
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III′I′′,V=TIITII.
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TIIT′I′I′.
其中I是k*k单位矩阵,是有2k个非零元素的k*k阶矩阵,=1111.
.
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.
11,其中I′,′和T′是分别通过删除I,和T的最后一行得到的.
为了说明一般情况下D不是满秩矩阵,通过初等行变换将它转变为以下形式:I.
.
.
01,其中1=(1,1,···,1)T是k1维的列矢量,=[Ik1,1].
很明显(k21)*(k2+1)矩阵D不是一个满秩矩阵,因为矩阵的秩为k1,得到纠缠的下界为El=k2k+1.
因为X型生成元数,纠缠的上界为Eu=k21.
最近通过其他方法证明下界也是k21,码字精确的纠缠值确定为E=Eu=k21[27].
6Gottesman码和相关码的码字纠缠6.
1Gottesman码Gottesman[28]提出一种达到量子Hamming界的量子编码的参数为[[2m,2mm2,3]](m3).
由定义,前两个稳定子生成元为X1···X2m和Z1···Z2m.
其余m个生成元的详细构造由矩阵(H|CH)给定,其中H=[h0,h1,···,h2m1]且第(k+1)列hk是表示整数030001-7陈小余.
中国科学:物理学力学天文学2015年第45卷第3期k(k=0,1,···,2m1)的二进制矢量,C为任意的可逆的m*m无定点自由矩阵,即对除s=0的所有s∈Fm2有Cs0和Css.
生成元Z1···Z2m为Z型生成元,下面关于码字纠缠的讨论将忽略它.
可以将H通过量子比特重新编号变换为H=[H0,H1,H2,···Hm],其中H0=h0=[0,0,···,0]T,H1=[h2m1,h2m2,···,h2,h1]=Im*m,且Hj是m*(mj)矩阵,其列矢量的重量为j.
后m个生成元的生成元矩阵的标准形式为(ID|FG),且D=[H2H3···Hm],F=C,G=CD,FT+DGT=0.
(26)已经利用了矩阵H的任何两列是正交的事实,而且H的每行重量为偶数,所以∑mi=1HiHTi=0,和∑mi=2HiHTi=H1HT1=I.
方程(26)和生成元X1···X2m不包含任何Z算符的事实导致α()=0,对于所有的m+1维二进制矢量都成立.
为了得到Gottesman码字纠缠的下界,需要验证条件(21)是否满足.
将生成元X1···X2m包含在内,则m+1个生成元的D矩阵为D=10···(m1)F2H2H3···Hm,其中1和0分别是有恰当维数的向量(1,1,···,1)和(0,0,···,0).
进而得到DDT=m′∑i=1(m2i)m′∑i=11HT2im′∑i=1H2i1Tm∑i=2HiHTi,其中m′=m/2.
注意m维矢量H2i1T的第l个元素正好是H2i的第l行的重量,根据H的定义,H2i的每一行都有相同的重量ti,H2i的每一列都有相同的重量2i,所以,mti=2i(m2i)是矩阵H2i的总重量.
故ti=(m12i1),且∑m′i=1H2i1T=∑m′i=1ti=∑m′i=1(m12i1)=2m2,该项当m3时在F2域中等于0.
因此∑m′i=1H2i1T=0T.
同时∑m′i=1(m2i)=∑m′i=0(m2i)1=2m11,该项当m2时在F2域中等于1.
得到DDT=I,条件(21)满足.
Gottesman码字的纠缠下界为m+1.
非Z型生成元的个数为m+1个,所以码字的纠缠上界为m+1.
得到结论Gottesman[[2m,2mm2,3]](m3)码的码字纠缠为m+1.
用编码长度n=2m表示,码字的纠缠为E=log2n+1.
(27)6.
28m系列量子码文献[29]中构造了参数为[[8m,8mlm5,3]],lm=log2m的一族码.
该码的另一种生成元矩阵也已构造出来[30](基于Gottesman码的方法).
稳定子生成元的个数为lm+5,其中有一个Z型生成元.
因此码字纠缠的上界(可能不是紧的)为Eu=lm+4.
为了得到纠缠的下界,直接利用文献[30]中的生成元矩阵而不是将它们转换为如方程(8)的标准形式.
该码可以分为m块,每块有8个量子比特.
生成元矩阵可以写为(A|B)=(A1,A2,···,Am|B1,B2,···,Bm),(28)其中Ai和Bi是(lm+5)*8二进制矩阵,而且(Ai|Bi)的每行要么是取自Gottesman[[8,3,3]]码的生成元矩阵,要么对应于I8,X8,Y8或Z8.
可以看出对于所有的i,j有AiATj=0,AiBTj=0,BiBTj=0.
于是有Γ=ABT=∑iAiBTi=0.
(29)因此对于任意的二进制矢量,有α()=0成立.
同时,也有∑iAiATi=0,因而AAT=0.
(30)注意对A进行行初等变换仍满足等式(30).
行初等变换后,A可以转换为标准形式A→A′=ID00.
(31)因此A′A′T=I+DDT000=0,030001-8陈小余.
中国科学:物理学力学天文学2015年第45卷第3期且DDT=I.
(32)方程(31)中单位矩阵的维数至关重要.
有一个明显的Z型生成元,从方程(31)和(32)中的单位矩阵来看,A矩阵的秩为lm+4.
根据方程(29)和(32),纠缠下界为El=lm+4,与上界纠缠值一致.
因此,长度为n=8m这族码的码字纠缠值为E=log2n+1.
(33)注意方程(27)描述的Gottesman码码字纠缠可以合并到方程(33)中.
6.
3粘贴码[[13,7,3]]码是通过粘贴Gottesman[[8,3,3]]码和循环[[5,1,3]]码而得到的[31].
对于[[13,7,3]]码的码字纠缠,在6个生成元中有一个Z型生成元,它的上界为Eu=5.
直接计算表明它的下界值El也为5.
所以得出纠缠值E=5,验证了方程(33).
完备码族[[nm,nm2m,3]],其中nm=(4m1)/3,当m3时,可通过将Gottesman22(m1)码(在不复杂的情况下,偶尔会用长度来表示码)与nm1码[21,31]粘贴得到.
nm码的码字纠缠的上界为Eu=2m1,因为有2m个生成元且只有一个是Z型生成元.
至于它的纠缠下界,首先考虑[[21,15,3]]码,它由[[5,1,3]]循环码与Gottesman24码粘帖得到.
可以运用第4节提及的特殊情况,有El=rankF2D=5,注意Z型生成元已经被去掉了.
同样地,对于nm码,有El=2m1.
所以纠缠值为E=2m1,且以码长n=nm表示的纠缠可以写为E=log2n.
(34)另外一类码[[8nm,8nm2m3,3]],当m3时,可通过将8nm1个码[21]与Gottesman22m+1码粘贴得到.
根据8nm码的结构可知粘贴码的纠缠上界由Gottesman22m+1码的非Z型生成元的个数决定,纠缠的上界为Eu=2m+2.
纠缠的下界值也是El=2m+2,由于该码是由Gottesman码粘贴而成,通过和6.
2节相似的方式得到纠缠的下界值为El=2m+2.
因而纠缠值为E=2m+2,且相应以码长n=8nm表示的纠缠可以写为方程(34)的形式.
7纠缠的迭代算法将码字0和它的最近乘积态|ΦS的内积表示为f=0ΦS,其中|ΦS=j(xj|0+yj|1)且xj2+yj2=1.
由拉格朗日乘子法,设L=|f|2∑jλj(xj2+yj21),其中λj为乘子.
极值方程为fxjfλjxj=0,fyjfλjyj=0.
令zj=yj/xj,得到zj=f/yjf/xj.
(35)因为群元素M11M22···Mnknk与(A|B)是同构的.
其中=(1,2,···,nk)为二进制矢量.
A和B是长度为n的二进制矢量.
所以f=N0|nnk∏i=1(I+Mi)nj=1(xj|0+yj|1)=N1∑=00|nZBXA(1)α()(i)·gnj=1(xj|0+yj|1)=N1∑=0(1)α()(i)·g0|nXAnj=1(xj|0+yj|1)=N1∑=0(1)α()(i)·gn∏j=1x1(A)jjy(A)jj.
(36)这里g=(g1,···,gnk),gi是Mi中Y算符的个数.
从(35)式看出,对于zj,迭代方程为zj=∑|(A)j=1(1)α()(i)·g∏mjz(A)mm∑|(A)j=0(1)α()(i)·g∏mjz(A)mm.
(37)注意有时候迭代不会达到|f|2的全局最大值.
所以如果最后的迭代结果分离态|ΦS是0的最近乘积态,从迭代算法中得到量子码码字纠缠为E=log2|f|2=nkns2log21∑=0(1)α()n∏j=1x1(A)jjy(A)jj.
(38)030001-9陈小余.
中国科学:物理学力学天文学2015年第45卷第3期表1码字纠缠及其上下界和编码复杂度Table1Theentanglementofcodewords,theirentanglementupperandlowerboundsandquantumcodingcomplexities[[n,k,d]]EEuElC[[4,1,2]]2223[[4,2,2]]2222[[5,1,3]]2.
9275324[[5,2,2]]2222[[6,1,3]]2.
9275324[[6,2,2]]3333[[6,3,2]]2224[[6,4,2]]2224[[7,1,3]]3335[[7,2,2]]4435[[7,3,2]]4436[[7,4,2]]3336[[8,1,3]]5547[[8,2,3]]4.
8549547[[8,4,2]]4444[[8,5,2]]3337[[8,6,2]]2227[[9,1,3]]5548[[9,2,3]]5548[[9,3,3]]5549[[9,4,2]]4444[[9,5,2]]3337[[9,6,2]]2227ns为Z型生成元的个数,f,xj和yj分别是f,xj和yj在极值点的值.
由Grassl(见脚注1))列出的一些量子编码的码字纠缠见表1(其中E,Eu,El表示纠缠及其上下界,C表示量子编码复杂度).
迭代算法用于计算上下界不相等时的纠缠.
由表1可见,量子编码复杂度不小于码子的纠缠.
8结论对于量子稳定子码字,证明了三种纠缠测度(几何纠缠,对数鲁棒纠缠和相对熵纠缠)是等价的.
我们从9量子比特以下的量子码归纳出规律:量子编码复杂度(这里指双量子比特及多量子比特逻辑门的数目)以码字纠缠量为其下界.
稳定子码字纠缠的上界是由非Z型生成元的最小个数决定的.
一种更紧的上界是所谓泡利韧性,它是将态分解为分离态所需泡利测量的最小数目.
基于二组分划分导出的纠缠下界,被化简为计算一类二进制矩阵的最小秩,这些矩阵由稳定子码的生成元矩阵推导而来.
证明CSS对偶包含码的纠缠为其X生成元的个数,可直接由经典码的校验矩阵确定.
推导出一个CSS码的相关图态的邻接矩阵.
研究了Toric码纠缠的上下界.
Gottesman码[[2m,2mm2,3]](m3),8m码和Gottesman粘帖码的纠缠值都等于其非Z型生成元的最小个数.
对Gottesman码及其相关码,其码字纠缠与码长n的关系为E=log2n+1或E=log2n.
当纠缠的上下界不等时,发展了迭代算法去计算码字纠缠的值.
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Quantumalgorithmusuallyusesrealequallyweightedstates,amongthemaregraphstates,whoseentanglementiswellstudied.
Quantumcommunicationisinevitablyconnectedwithquantumerrorcorrectingcodes(QECC).
ThemostimportantandfrequentlyusedQECCsarequantumstabilizercodes,whichcanbeseenasthecombinationofgraphstateswithclassicalerrorcorrectingcodes.
Wearguethatthecomplexityofquantumcodingiscloselyrelatedtotheentanglementofthecode.
Weprovethatentanglementmeasuredbythegeometricmeasure,therobustnessandtherelativeentropyofentanglementareequalforastabilizerquantumcodeword.
Theentanglementupperandlowerboundsaredeterminedfromthegeneratorsofaquantumcode.
CSScodesarequantumcodesderivedfromclassicalcodes.
WeprovethattheentanglementofCSScodeequalsitsnumberofclassicalgeneratorswhentheCSScodeisdual-containing.
WegivetheentanglementofcodewordsforGottesmancodesandrelatedcodes.
Aniterativealgorithmisdevelopedtocalculatetheentanglementnumerically.
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